Question

Okno ma kształt prostokąta zakończonego na górze półkolem. Jaka powinna być podstawa prostokąta,aby przy obwodzie okna wynoszącym 2 metry powierzchnia okna była największa?

Answer 1

x - szerokość okna

y - wysokośc okna

x/2 - promień półkola

Mamy

x + 2y + (π/2) x = 2   - obwód okna

[1 + π/2] x = 2y = 2

2y = 2 - [ 1 + π/2] x  / : 2

y = 1 - [(1/2) + π/4] x

y =  1 - [(2 + π)/4] x

Pole powirzchni okna

P = x*y + (1/2)*π *(x/2)² = x*[ 1 - ((2+π)/4( x ] + (π/8) x² =

= (π/8) x² -[(4 + 2π)/8]x² + x =  -[(4+π)/8] x² + x =

= x*[ 1 - ((4 +π)/8)x ]

x = 0  lub  1 - ((4+π)/8)x = 0

x = 0 lub [ (4 +π)/8] x = 1

x = 0  lub  x = 1 : [(4 + π)/8]

x = 0  lub  x = 8/(4 +π)

czyli x1 = 0   ; x2 = 8/(4 +π)

Ponieważ współczynnik  przy x² jest ujemny , zatem  funkcja P(x)

osiąga maksimum dla x = p = [x1 +x2]/2 = 4/(4 + π)

Odp. Aby powierzchnia okna była największa , przy obwodzie równym 2 m,

jego szerokość musi być równa 4/( 4 + π)  m  ≈ 0,56 m.

===================================================