Question

oblicz wyraz pierwszy i różnicę ciągu arytmetycznego gdy:
a) a₂+a₅=8 i a₃+a₇=17
b)a₇-a₃=8 i a₂*a₇=75
c)
d)

podaj wzór ogólny ciągu.

bardzo proszę żeby ktoś to rozwiązał i wytłumaczył. zależy mi ponieważ mam poprawki we wtorek : <

Answer 1

a)

a2 + a5 = 8

a3 + a7 = 17

------------------

Korzystamy z wzoru na an = a1 + (n-1)*r

zatem

(a1+r) + ( a1 + 4r) = 8

(a1 + 2r) + (a1 + 6r) = 17

-----------------------------

2 a1 + 5r = 8

2 a1 + 8r = 17

-------------------  odejmuję stronami

8r - 5r = 17 - 8

3r = 9 / : 3

r = 3

====

2a1 = 8 - 5r = 8 - 5*3 = 8 - 15 = - 7 / : 2

a1 = -3,5

========

Wyraz ogólny tego ciągu

an = a1 + (n-1)*r

Po podstawieniu mamy

an = -3,5 + (n -1)*3 = -3,5 + 3n - 3 = 3 n - 6,5

Odp. an = 3 n  - 6,5

=================

b)

a7 - a3 = 8

a2* a7 = 75

---------------------

( a1 + 6r) - ( a1 + 2r) = 8

(a1 + r)*( a1 + 6r) = 75

---------------------------------

4r = 8

r = 2

====

(a1 +2)*(a1 +6*2) = 75

(a1 +2)*(a1 + 12) = 75

(a1)^2 + 12 a1 + 2 a1 + 24 = 75

(a1)^2 + 14 a1 - 51 = 0

delta = 14^2 - 4*1*(-51) = 196 + 204 = 400

p(delty) = 20

a1 = [ - 14 - 20]/2 = - 34/2 = - 17

lub a1 = [ - 14 + 20]/2 = 6/2 = 3

Odp. a1 = - 17  oraz r = 2

lub  a1 =  3     oraz  r = 2

=======================

Wyraz ogólny tego ciągu:

1) an = - 17 + ( n- 1)*2 = -17 + 2n - 2 = 2 n - 19

lub

2) an =  3 + ( n -1)*2 =  3 + 2 n - 2 = 2 n +  1

=======================================

c)

a2 + a6 = 22

a3 + a7 = 25

-------------------------

(a1 + r) + ( a1 + 5r) = 22

(a1 + 2r) + ( a1 + 6r) = 25

---------------------------------

2a1 + 6r = 22

2a1 + 8r = 25

-------------------  odejmujemy stronami

8r - 6r = 25 - 22

2r = 3 / : 2

r = 1,5

======

2 a1 = 22 - 6r = 22 - 6*1,5 = 22 - 9 = 13 / : 2

a1 = 6,5

========

Wzór ogólny tego ciagu

an = a1 + (n -1)*r

Po podstawieniu mamy

an = 6,5 + (n -1)*1,5 = 6,5 + 1,5 n - 1,5 = 1,5 n + 5

Odp. an = 1,5 n + 5

====================

 

d)

a1 + a4 - a2 = 11

a3 + a4 = 38

------------------------------

a1 + ( a1 + 3r) - (a1 + r) = 11

(a1 + 2r) + (a1 + 3r) = 38

----------------------------------

a1 + 2r = 11  / * (-2)

2a1 + 5r = 38

----------------------

- 2 a1 - 4r = - 22

2 a1 + 5r = 38

-------------------  dodajemy stronami

5r + ( -4r)  = 38 + (-22)

r =  16

=====

a1 = 11 - 2r = 11 - 2*16 = 11 - 32 = - 21

a1 = - 21  oraz  r = 16

==================

Wyraz ogólny tego ciagu

an = a1 + (n-1)*r

Po podstawieniu za a1  oraz  r mamy

an = - 21 + ( n -1)*16 = - 21 + 16 n - 16 = 16 n - 37

Odp.

an = 16 n - 37

==============