Question

zbadaj monotomiczność ciągu o wyrazie ogólnym :

oblicz a24

który wyraz ciągu jest <0

który wyraz ciągu jest równy 1 i 1/4

który wyraz ciągu jest <40

bardzo proszę żeby ktoś to rozwiązał, poprawki niebawem a tego nie rozumiem. prosiłbym żeby ktoś to próbował wytłumaczyć. Dziękuję.

Answer 1

Badanie monotoniczności polega na sprawdzeniu, czy kolejne wyrazy ciągu rosną, czy maleją, zatem wystarczy obliczyć i sprawdzić czy wynik będzie większy czy mniejszy od 0. Jeśli będzie większy, czyli ciąg jest rosnący, jeśli mniejszy od 0, czyli jest malejący.

a) 

Łatwo zauważyć, że wynik musi być dodatni, więc stwierdzamy, że jest to ciąg rosnący. Resztę przykładów postaraj się sam zrobić według powyższego schematu.

Oblicz a24: podstaw za n 24

b)1. i 2., gdyż mianownik zawsze będzie dodatni, więc licznik musi być ujemny, czyli n=1 lub n=2.

c) Oblicz te równania wymierne:

d) 1, 2, 3, 4, 5, 6 i 7, gdyż dla n=8 wyraz wynosi 40, a potem już tylko rosną.

Powodzenia ;]

Answer 2

a]

a(n)=(2n+1)/(n+4)        n≠-4

a₁=(2×1+1)/(1+5)=⅗

a₂=(2×2+1)/(2+4)=⅚

a₃=(2×3+1)/(3+4)=1

chcąc obliczyć a₁ zamiast n podstawiasz 1, itd.

ciąg nie jest monotoniczny, gdy np. a₂>a₁, ale a₃<a₂, sprawdzamy, więc, czy jest monotoniczny:

⅚ ? > ⅗       tak:        ²⁵/₃₀ > ¹⁸/₃₀

1 ? < ⅚        nie,        1> ⅚, czyli ciąg jest monotonicznybadamy znak różnicy : a(n+1)-a(n)

a(n)=(2n+1)/(n+4)

a(n+1)=[2(n+1)+1]/(n+1+4)=(2n+3)/(n+5)

a(n+1)-a(n)=(2n+3)/(n+5)-(2n+1)/(n+4)=

[(2n+3)(n+4)-(2n+1)(n+5)]/[(n+5)(n+4)]=

(2n²+8n+3n+12-2n²-10n-n-5)/(n²+4n+5n+20)=7/(n²+9n+20) 

n∈N , czyli róznica a(n+1)-a(n)> 0⇒ to ciąg rosnący

a24=(2×24+1)/(24+4)=49/28=7/4=1¾

 

b]

a(n)=(3n-7)/(n+5)

a₁=(3×1-7)/(1+5)=-⅔

a₂=(3×2-7)/(2+5)=-¹/₇

a₃=(3×3-7)/(3+5)=¼

jest monotoniczny bo -¹/₇>-⅔ i ¼>-¹/₇

a(n+1)=[3(n+1)-7]/(n+1+5)=(3n-4)/(n+6)

a(n+1)-a(n)=(3n-4)/(n+6)-(3n-7)/(n+5)=[(3n-4)(n+5)-(3n-7)(n+6)]/(n²+5n+6n+30)=22/(n²+11n+30)

a(n+1)-a(n)>0⇒ ciąg rosnacy

(3n-7)/(n+5)<0   n≠-5

(3n-7)(n+5)<0

(3n-7)(n+5)=0

n=⁷/₃ ∨ n= -5

n∈(-5;⁷/₃)

n to liczba naturalna, więc w powyższym przedziale, to 1 i 2, czyli dwa pierwsze wyrazy są <0

c]

a(n)=(2n-10)/(n+1)

a₁=(2+10)/(1+1)=-4

a₂=(4-10)/(2+1)=-2

a₃=(6-10)/(3+1)=-1

a₂>a₁ i a₃>a₂, czyli jest monotoniczny

a(n+1)-a(n)=[2(n+1)-10]/(n+2)-(2n-10)/(n+1)=[(2n-8)(n+1)-(2n-10)(n+2)]/(n+2)(n+1)=(2n²+2n-8n-8-2n²-4n+10n+20)/(n²+3n+2)=

12/(n²+3n+2)>0⇒ ciag rosnacy

(2n-10)/(n+1)=1¼

8n-40=5n+5

8n-5n=5+40

n=45:3=15

pietnasty wyraz=1¼

d]

an=n²-3n

a₁=1-3=-2

a₂=2²-3×2=-2

a₃=3²-3×3=0

a₄=4²-3×4=4

nie jest monotoniczny bo a₂ nie jest > a₁

a(n+1)-a(n)=(n+1)²-3(n+1)-(n²-3n)=n²+2n+1-3n-3-n²+3n=

2n-2

różnica a(n+1)-a(n) zależy od n

mniejsze od 40 są:

n²-3n<40

n²-3n-40=0

Δ=b²-4ac=9+160=169

√Δ=13

n₁=[-b-√Δ]/2a=[3-13]/2= liczba ujemna , n∈N

n=[-b+√Δ]/2a=[3+13]/2=8

ósmy wyraz jest =0, wiec siedem pierwszych wyrazów jest mniejszych od 40

wszystko jasne?, pisz, w razie wątpliwości