Question

Oblicz pierwszy wyraz ciągu geometrycznego (an) gdy:
a)a2=20 ; a4=80

b)a3=9 ; a5=81

Answer 1

Należy zastosować wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:

*** an=a1 razy q do potęgi (n-1),

gdzie a1 oznacza szukany pierwszy wyraz ciągu

a)
jeżeli mamy a2 to wtedy za n wstawiamy 2, jeżeli mamy a4 to za n wstawiamy 4 itd.:
czyli wstawiając do wzoru ***: a2=a1*q do potęgi (2-1), czyli a2=a1*q¹
oraz a4=a1*q do potęgi (4-1) = a4=a1*q³

skoro mamy podane w zadaniu że a2=20 i a4=80 to musimy rozwiązać układ równań:
a1*q¹=20
a1*q³=80
można rozwiązywać ukł. na kilka sposobów np. metodą podstawiania:
z pierwszego wyznaczamy a1=20/q (wiadomo, że q jest różne od zera bo inaczej nie byłoby ciągu, więc można dzielić)
i wstawiamy do drugiego: (20/q)*q³=80, 20q²=80 /:20
q²=4 zatem q₁=2 lub q₂=-2 (dwa rozwiązania)

teraz podstawiamy do pierwszego rówania a1*q=20
jeśli q=2 to a1*2=20 czyli a1=10
jeśli q=-2 to a1*(-2)=20 czyli a1=-10
Podsumowując
Rozwiązaniem są dwie możliwości:
a1=10 lub a1=-10
(czyli po prostu mogą być dwa różne ciągi geometryczne, w którym drugi wyraz jest równy 20, a czwarty 80)

Odp. Pierwszy wyraz ciągu wynosić może -10 lub 10.

Zad.b) Na tej samej zasadzie:
Układ równań:
a1*q do potęgi (3-1)=9
a1*q do potęgi (5-1)=81

a1*q²=9
a1*q⁴=81
Można rozwiązać ten układ równań innym niż wyżej sposobem, np. podzielić pierwsze równanie przez drugie:
(a1*q²):(a1*q⁴)=9:81 (a1 się skróci, a z dzielenia q² przez q⁴ otrzymujemy q do potęgi -2 (potęgi się odejmuje przy dzieleniu)
q⁻²=1/9
1/q² = 1/9 (mnożymy na krzyż)
q²=9
zatem
q=3 lub q=-3

podstawiamy do pierwszego równania: a1*q²=9
a1*3²=9 lub a1*(-3)²=9
a1*9=9 lub a1*9=9 (czyli to samo)
zatem a1=1

Odp. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy 1.

Answer 2

A) a₂=20 czyli a₂=a₁×q b) a₃=9 czyli a₃= a₁×q²
a₄=80 czyli a₄=a₁×q³ a⁵=81 czyli a₅= a₁×q⁴
klamra a₁×q=20 klamra a₁×q²=9
a₁×q³=80 a₁×q⁴=81
klamra a₁=20÷q klamra a₁=9÷q²
20÷q×q³=80 9÷q²×q⁴=81
klamra a₁=20÷q klamra a₁=9÷q²
20×q²=80 9×q²=81
klamra a₁=20÷q klamra a₁=9÷q²
q²=4=2 q²=9
klamra a₁=20÷2 klamra a₁=9÷9
q=2 q²=9
klamra a₁=10 klamra a₁=1
q=2 q=3