Question

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 32 cm(sześcienne), a krawedź jego podstawy ma długość 4 cm. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa i kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny zawierającej jego podstawę. Wykonaj rysunek.

Answer 1

1. Powierzchnia boczna

Objętość ostrosłupa:

V=PpH/3

V - objętość

Pp - pole podstawy

H - wysokość ostrosłupa

Przekształcając powyższy wzór można wyliczyć wysokość

H=3V/Pp

H=3*32/4²

H=3*32/16

H=3*2

H=6 cm

Wysokość spada dokładnie na środek podstawy (podstawa - kwadrata); zatem z tw. Pitagorasa można obliczyć wysokość ściany bocznej:

h - wysokość ściany bocznej

H²+(1/2 a²)=h²

h²=6²+(1/2 *4)²

h²=36+4

h²=40

h=2√10

Pole powierzchni bocznej:

Pb=4*a*h:2

Pb=2ah

Pb=2*4*2√10

Pb=16√10 cm²

========================================

2. Kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy

Z tw. Pitagorasa

d - przekątna podstawy

2a²=d²

d²=32

d=4√2

α - szukany kąt

Z trygonometrii

tgα=H/(1/2 d)

tgα=6/2√2

tgα=3√2/2

tgα≈2,1213

[odczytuję z tablic]

α≈64°48'