Question

Nierównoległe boki trapezu przedłużono do wzajemnego przecięcia i przez otrzymany w ten sposób punkt poprowadzono prostą równoległą do podstaw trapezu. Wyznacz długość odcinka tej prostej, ograniczonego przez przedłużenie przekątnych trapezu, jeśli długości podstaw trapezu są równe a i b.

Answer 1

ABCD  - dany trapez

K  - punkt przecięcia się prostych zawierających  nierównoległe boki tego trapezu

( pr AD, pr BC )

Mamy dwa trójkąty podobne: DCK  i ABK  ( na mocy  cechy  KKK )

Niech  h1  - wysokość trójkąta DCK  , a  h2  - wysokość trójkąta ABK.

I AB I = a,  I DC  I  = b , gdzie   a > b

Ponieważ te trójkąty są podobne, to

h1 / b  = h2/ a

a *h1 = b*h2   =>  h1 = ( b / a) *h2

Niech  A1  - punkt  leżący na przecięciu pr AC z  prostą przechodzącą przez punkt K                    i równoległą do podstaw trapezu  oraz  B1  - punkt leżący na przecięciu pr BD

 z prostą  K A1.

Otrzymaliśmy dwa trójkąty : C A1 K  i  D B1 K

Trójkąt C A1 K  jest podobny do trójkąta CAB  , a trójkąt  D B1 K  jest podobny do

trójkąta DBA  ( na mocy cechy  KKK ).

Obliczam skalę podobieństwa trójkątów C A1 K  i  CAB

Wysokość trójkąta C A1 K  jest równa h1 , a wysokość trójkąta CAB jest równa h2 - h1

zatem

k =  h1/ ( h2 - h1)

Wstawiam za  h1  liczbę  ( b / a)*h2

Mamy

k = [ ( b/a) *h2 ] / [ h2 - ( b/a)*h2] ;  po uproszczeniu przez h2 mamy

k = ( b/a) / [ 1 - ( b/a) ] = ( b / a) / [ a/a - b/a)] = ( b / a) / [ ( a - b) / a] = ( b/a) * [ a / ( a - b)]

k = b/ ( a - b)

==========

Analogicznie  skala podobieństwa trójkątów D B1 K  i  D B A  jest równa k = b / ( a - b)

Mamy

I A1 B1 I = I A1 K I + I B1 K I =  k*a  + k*a = 2k*a

 czyli

I A1 B1 I = 2 *[ b / ( a - b)] * a = [ 2 b / ( a - b )] * a = 2a*b / ( a - b)

Odp.  2a*b / ( a - b)

==================

Cecha  KKK  - cecha podobieństwa  trójkątów kąt kąt kąt

 

Np.

dla  a = 6 ,   b = 3        mamy   2*6*3 /( 6 - 3) = 12

dla  a =  6 ,  b = 4        mamy  2*6*4 / ( 6 - 4) = 24

dla  a = 6,    b = 2        mamy   2*6*2 / ( 6 - 2) = 6