Question

Los puntos A( 2;4 ) y B( 4;1 ) son los vertices de los angulos agudos de un triangulo rectangulo , hallar las ecuaciones de las rectas que pasando por el tercer vertice C, dividen al angulo recto en tres partes iguales. Si A= 36 grados.

Answer 1

RESOLUCIÓN.

Para resolver este problema hay que seguir los siguientes pasos:

1) Solo se tomará una solución de las 2 posibles que arroja este problema.

Se debe formar el vector AB y determinar su ángulo con el eje de las abscisas.

AB = (4 - 2, 1 - 4) = (2, -3)

θ = Arctg (-3/2 ) = - 56,31º

Como el ángulo en el punto A es de 36º se suma del ángulo θ para obtener una de las soluciones:

α = -56,31 + 36 = -20,31 º

De igual forma se obtiene el ángulo formado por BC, que en este caso es el complementario de α.

β = 90 - 20,31 = 69,69º

2) Se deben obtener las ecuaciones de las rectas de AC y BC.

Para esto hay que conseguir la pendiente y el corte con el eje Y de cada recta.

mAC = Tg(-20,31º) = -0,37

mBC = Tg(69,69º) = 2,702

LAC: Y = -0,37X + b

LBC: Y = 2,702X + b

Como el punto A pertenece a la recta LAC y el punto B a la recta LBC es posible obtener el corte con el eje de las ordenadas.

LAC: Y = -0,37X + 4,74

LBC: Y = 2,702X - 9,81

3) Se debe encontrar el punto C igualando ambas rectas y despejando tanto X como Y.

-0,37X + 4,74 = 2,702X - 9,81

X = 4,736
Y = 2,99

El punto C es (4,736 ; 2,99) 

4) Al dividir el ángulo recto en 3 partes iguales se tiene que:

λ = 90 / 3 = 30 º

Las rectas que se deben encontrar tienen que tener 30º con respecto a sus adyacentes.

Se consigue la pendiente de cada una haciedo uso de los 30º.

Tg(mL1) - Tg(-0,37) = 30º

mL1 = 0,171

Tg(2,702) - Tg(mL2) = 30º

mL2 = 0,83

Sustituyendo el punto C en la ecuación de cada recta se tiene que:

L1: 0,171X + 2,18

L2: 0,83X - 0,94

Con lo cual L1 y L2 son las rectas que dividen en 3 ángulos iguales al ángulo recto.