Question

Kąt między przekątnymi sąsiednich ścian bocznych graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równy 60st. Wykaż, że taki graniastosłup jest sześcianem.

Answer 1

graniastosłup prawidłowy czworokatny ma w podstawie kwadrat o boku a

przekątna podstawy to:

d1=aV2

jako że garniastosłup ma wszędzie wysokość H to wiadomo że d2 i d3 są równe

otrzymany trójkąt BDG jest trokątem równoramiennym z kątem pomiędzy ramionami równym 60 st

z sumy kątów powyższego trójkąta mamy:

180=80-<DBG-<BDG ; <DBG=<BDG; < =- oznacza kąt

czyli trójkąt BDG jest trójkątem równobocznym, a jego boki

d1=d2=d3=aV2

za pomocą tw pitagorasa z trójkąta BCG mamy

a^2+H^2=d2^2

a^2+H^2=(aV2)^2

H^2=2a^2-a^2=a^2

H=a

 

czyli wszystkie krawędzie są równe a, a więc bryła jest sześcianem

 

Pozdrawiam i liczę na naj... :-))