Question

Ile jest liczb trzycyfrowych, dla których dwie ostatnie cyfry kwadratu są równe 1?
Proszę o rozwiązanie i wytłumaczenie tego

Answer 1

Najpierw trzeba rozstrzygnąć problem kiedy liczba po podniesieniu do kwadratu daje na końcu tylko jedną jedynkę. To dość oczywiste, że dzieje się tak, gdy sama ma na końcu jedynkę, ponieważ.
Jeśli jesteś dociekliwy,(w innym przypadku nie czytaj, bo tylko sobie zamącisz w głowie) można to udowodnić w ten sposób (nie jest to elegancki dowód, ale ważny jest wniosek):
Przyjmijmy, że każdą liczbę możemy przedstawić w ten sposób te kropeczki oznaczają, że liczba może być dowolnie długa, a "BA" to dwie ostatnie cyfry tej liczby. Jej kwadrat można zapisać jako:

Tutaj posłużyliśmy się wzorem skróconego mnożenia. Widać teraz, że ostatnia cyfra zależy tylko od kwadratu naszego A.
Pytanie brzmi: jakie cyfry po podniesieniu do kwadratu dają na końcu 1?
Są to 1 oraz 9.

Wiemy już  zatem, że nasza trzycyfrowa liczba kończy się na 1 lub 9.
Podobnie jak poprzednio, (możesz uwierzyć, albo wrócić do dowodu), stwierdzamy, że dwie ostatnie cyfry kwadratu liczby zależą od dwóch ostatnich cyfr tej liczby.
Nasza liczba ma postać xx1 lub xx9.
Teraz niestety musimy sprawdzić jakie końcówki dają podniesione do kwadratu następujące liczby:
01 = 01 - odpada
11 = 21  - odpada
21 = 41 - odpada
31 = 61 - odpada
41 = 81 - odpada
51 = 01 - odpada
61 = 21 - odpada
71 = 41 - odpada
81 = 61 - odpada
91 = 81 - odpada
09 = 81 - odpada
19 = 61 - odpada
29 = 41 - odpada
39 = 21 - odpada
49 = 01 - odpada
59 = 81 - odpada
69 = 61 - odpada
79 =  41 - odpada
89 = 21 - odpada
99 = 01 - odpada

ŻADNA KOŃCÓWKA NIE SPEŁNIA NASZEGO WARUNKU. 
Wniosek, nie ma takiej liczby, która po podniesieniu do kwadratu daje 11.