Question

Ile jest liczb pięciocyfrowych, spełniających jednocześnie następujące 4 warunki:

1)cyfry setek, dziesiątek i jedności są parzyste

2)cyfra setek jest większa od cyfry dziesiątek

3)cyfra dziesiątek jest większa od cyfry jedności

4)w zapisie tej liczby nie występuje cyfra 9

Answer 1

z pierwszymi dwoma cyframi jest łatwiej, pierwsza to 8 możliwości (bez 0 i 9), druga to 9 możliwości (bez 9) - ich wartości nie wpływają też na inne cyfry, czyli mamy:

gdzie x to liczba wszystkich liczb trzycyfrowych spełniających trzy warunki (4 się nie przejmujemy bo jak zachodzi 1 to 4 również)

 

mamy cyfry: 0, 2, 4, 6, 8 i musimy z nich wybrać dowolne trzy (warunki 2 i 3 od razu określą która będzie cyfrą jedności, dziesiątek czy setek), mamy zbiór pięcioelementowy, z którego chcemy wybrać trójelementowy podzbiór

 

czyli na ile sposobów możemy wybrać 3 z 5 liczb?

Pierwszą można wybrać na 5 sposobów, drugą na 4, trzecią na 3 (nie mogą się powtarzać. Jednak w ten sposób otrzymamy ciąg cyfr, który nie koniecznie jest malejący - dla każdych wybranych trzech cyfr będzie nas obchodzić tylko jedna kolejność. Otrzymaną liczbę trzeba więc podzielić przez to ile razy w ten sposób licząc otrzymamy każdy ciąg. Czyli na ile sposobów możemy ustawić trójelementowy ciąg? Pierwszą liczbę na 3, drugą na 2, dla ostatniej zostaje już tylko jedno miejsce.