En la sucesión creciente :2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 10 ; 11 ; 12; ....Consta de todos los números enteros .... Question from @DeyviVillanueva

September 2019 1 48 Report

En la sucesión creciente :

2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 10 ; 11 ; 12; ....

Consta de todos los números enteros que no son cuadrados ni cubos .

Hallar el termino 120.

a) 110
b) 134
c) 128
d) 150
e) 132

Mainh

¡Buenas!

Tema: Sucesiones

$\textbf{Problema :}$

En la sucesión creciente :

2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 10 ; 11 ; 12; ....

Consta de todos los números enteros que no son cuadrados ni cubos. Hallar el termino 120.

RESOLUCIÓN

Realicemos un breve análisis a la sucesión, tomemos los 10 primeros números naturales, y resaltemos en azul aquellos números que son cuadrados y/o cubos perfectos. Debajo de los números no resaltados, es decir, los números negros, señalamos la posición del término, considerando como primer término a 2. Ejemplo $t_{(1)} = 2$ y $t_{(4)} = 6$ .

Es importante notar que el término $n$ es la posición en que se encuentra, o sea $n$ , aumentado en la cantidad de cuadrados y/o cubos perfectos omitidos hasta $t_{(n)}$ . Ejemplo.

$t_{(3)} = 5 = 3 + 2$

El tercer término $t_{(3)}$ es igual a su posición $n=3$ aumentado en la cantidad de números cuadrados y/o cubos omitidos hasta $t_{(3)}$ . Recordando que $t_{(3)} = 5$ y antes del $5$ se han omitido el $1$ y el $4$ , o sea, se han omitido dos números.

Otro ejemplo.

$t_{(6)} = 10 = 6 + 4$

El sexto término $t_{(6)}$ es igual su posición $n = 6$ aumentado en la cantidad de números cuadrados y/o cubos perfectos omitidos hasta $10$ , debido a que antes de $10$ hay 4 números omitidos que en este caso son el 1, 4, 8 y 9.

En general.

$t_{(n)} = n + \oint_{n}$

Donde $\oint_{n}$ nos indica la cantidad de cuadrados y/o cubos perfectos que hay hasta $t_{(n)}$

De los ejemplos anteriores $\oint_{3} = 2$ y $\oint_{6} = 4$

Para números pequeños no es difícil encontrar el valor de $\oint_{n}$ ya que solo basta con ver la sucesión, pero se complica a medida que $n$ aumenta su valor.

Tenga en cuenta que esta no es una fórmula directa para hallar el enésimo término, pero nos será bastante útil, si queremos hallar $t_{(120)}$ debemos recurrir a un análisis profundo de la sucesión.

Para $n = 120$ .

$t_{(120)} = 120 + \oint_{120}$

El obstáculo principal consiste en que desconocemos el valor de $\oint_{120}$ en esencia desconocemos cuantos números cuadrados y/o cubos perfectos hay antes de $t_{(120)}$ y peor aún no sabemos el valor preciso de $t_{(120)}$ .

Para ello vamos a emplear una serie de razonamientos lógicos y fundamentados para encontrar lo pedido.

Primeramente escribamos el conjunto de los trece primeros cuadrados perfectos. Denotemos este conjunto como $\square$

$\square = \{ 1\ ;\ 4\ ;\ 9\ ;\ 16\ ;\ 25\ ;\ 36\ ;\ 49\ ;\ 64\ ;\ 81\ ;\ 100\ ;\ 121\ ;\ 144\ ;\ 169 \}$

Ahora escribamos el conjunto de los seis primeros cubos perfecto. Denotemos este conjunto como $\blacksquare$

$\blacksquare = \{1\ ;\ 8\ ;\ 27\ ;\ 64;\ 125\ ;\ 216 \}$

Note que existen elementos que se repiten, ahora de la fórmula $t_{(120)} = 120 + \oint_{120}$ se deduce que $t_{(120)} > 120$

Entonces si encontramos cuantos cuadrados y/o cubos perfectos existen hasta 120 se deduce que $\oint_{120}$ será mayor o igual a dicha cantidad, debido a que $\oint_{120}$ nos indica la cantidad de cuadrados y/o cubos perfectos que se encuentran hasta $t_{(120)}$ . Contando nos percatamos que existen 12 cuadrados y cubos perfectos, no cometa el error de contar de más, ya que hay elementos que se repiten. Entonces.

$\oint_{120} \geq 12$

Adicionando 120 a cada miembro de la desigualdad

$120 + \oint_{120} \geq 120 + 12$

$t_{(120)} \geq 132$

De esta desigualdad $t_{(120)}$ es mayor o igual a $132$ entonces debemos considerar también a los cuadrados y cubos 121 y 125 respectivamente, por ende ahora $\oint_{120} \geq 14$

Entonces.

$\oint_{120} \geq 14$

Adicionando 120 a cada miembro de la desigualdad

$120 + \oint_{120} \geq 120 + 14$

$t_{(120)} \geq 134$

Si consideramos que $\oint_{120} = 15$ ello implica que se tuvo que considerar otro cuadrado o cubo perfectos, debido a que el cubo más próximo es 216 (muy lejano) entonces solo es posible considerar al cuadrado más próximo el cual es 144, esto implica que $t_{(120)} > 144$ sin embargo a la vez debe cumplirse que $t_{(120)} = 120 + 15 = 135$ dándose una contradicción, esto ocurre debido a que el valor de $\oint_{120}$ no puede ser 15, y menos un valor mayor a este.