Dużo punktów!!! Daje naj!
1. W III wieku p.n.e. Archimedes abudował katapultę, która mogła miotać nawet 80-kilogramowe kamienie. Na poniższym wykresie odtworzono, jak mógł wyglądać tor ruchu kamienia wyrzuconego przez tę katapultę.
Korzystając z wykresu funkcji opisującej ten ruch oblicz:
a) jaki był zasięg katapulty Archimedesa
b) na jaką największą wysokośc wzleciał kamień wyrzucony przez te katapultę
2. Tor ruchu kuli pchniętej przez miotacza podczas zawodów lekkoatletycznych jest fragmentem paraboli. Na wykresie przedstawiono zależność wysokości, na jakiej znadjuje się kula, od jej odległości od miotacza(mierzonej w poziomie). Kropką zaznaczono wierzchołek paraboli.
a) Znajdź wzór funkcji, kórej wykres przedstawiono na rysunku.
b) Oblicz, na jakiej wysokości znajduje się kula w najwyższym punkcie swego lotu.
3. Poniższy wykres przedstawia, jak zmieniała się wysokość, na któej znajdowała się piłka od momentu, w któym została odbista przez siatkarkę, do momentu, w którym upadła na ziemię. Wykres ten jest fragmentem praboli.
a) Znajdź wzór funkcji, któej wykres przedstawiono na rysunku
b) Oblicz, po jakim czasie piłka spadła na ziemię. Jaka jest dziedzinan funkcji przedstawionej na wykresie?
c) Oblicz, jak długo piłka wznosiła się ponad siatką (górna krawędź siatki znadjudje się na wysokości 2,24 m)
z.1
y =( -1/180)x +x = x (1 - x/180)
a) zasięg
x(1 - x/180) = 0 <=> x = 0 lub 1 - x/180 = 0
x = 0 lub x = 180
Odp. Zasięg rzutu to 180 m.
b) wysokość
p = (1/2) *180 = 90
y = 90* ( 1 - 90/180) = 90 *0,5 = 45
Odp. Wysokośc lotu to 45 m.
============================
z.2
a)
Mamy
p = 9
x2 = 20
p = [x1 +x2]/2 = [x1 +20]/2
[x1 + 20]/2 = 9
x1 +20 = 2*9 =18
x1 = 18 -20 = -2
f(0) = 2
Mamy
f(x)= a(x -x1)(x -x2) = a(x +2)(x -20)
f(0) = 1 zatem a( 0 +2)(0 - 20) = -40 a = 2 --> a = -2/40 = -1/20
czyli
y = (-1/20) (x +2)(x -20)
=======================
b)
p = 9
zatem q = f(p) = f(9)
q = (-1/20)(9 +2)(9 -20) = (-1/20)*11*(-11) = 121/20 = 6,05
Odp. 8,05 m
===============================================================
z.3
p = 0,2
f(0) = 2
q = f(0,2) = 5
y = a x² + bx + c
Dla x = 0 mamy a*0 + b*0 + c = 2 --> c = 2
x = 0,2
y = a*0,2² + b*0,2 + 2 = 0,04 a + 0,2b + 2 = 5
0,04a + 0,2 b = 3 / * 25
a + 5b = 75
x1 + x2 = - b/a , ale (x1 + x2)/2 = p = 0,2 --> x1 +x2 = 2*0,2 = 0,4
czyli
0,4 = -b/a --> - b = 0,4 a --> b = -0,4 a
zatem mamy
a + 5b = 75
a + 5*(-0,4 a) = 75
a - 2a = 75
-a = 75
a = - 75
b = -0,4 a = -0,4 *(-75) = 30
Odp. y = -75 x² + 30 x +2
=========================
b) Df = R⁺
y = 0
- 75 x² + 30 x + 2 = 0
Δ = 900 - 4*(-75)*2 = 900 + 600 = 1500
√Δ = 10√15
x = [ -30 - 10√15]/(-150) = 1/5 + √15/15 = 0,2 + 0,26 = 0,46
Pilka spadnie po około 0,46 sekundy.
=========================================================
c)
y = -75 x² +30x +2 - 2,24 = -0,75 x² + 30 x - 0,24
Δ = 30² - 4*(-75)*(-0,24) = 900 - 72 = 828 = 36*23
√Δ = 6√23
x1 = [ -30 - 6√23]/(-150) = [5 + √23]/25
x2 = [ - 30 + 6√23]/(-150) = [ 5 - √23]/25
x1 - x2 = [5 +√23]/25 - [5 - √23]/25 = [2√23]/25 ≈ 0,38
Odp. Piłka wznosiła się ponad siatką okolo 0,38 s.
=====================================================
zadanie 1
a) korzystamy ze wzoru na wysokość pocisku:
b) mamy wzór paraboli, ramiona są skierowane do dołu, największa wysokość jest osiąga na w wieszchołku:
zadanie 2
a) miejsca zerowe są symetryczne względem osi wieszchołka x = 9, po policzeniu drugiego korzystam z postaci iloczynowej (znamy współrzędne jesdnego punktu - (0, 1))
b) to y wieszchołka:
zadanie 3
a) wykorzystamy znajomość współrzędnych wieszchołka (postać kanoniczna funkcji):
b) korzystamy ze wzoru na wysokość pocisku:
dziedzina:
c) wzór lotu nad siatką:
jak masz pytania to pisz na pw (jak jest błąd parsowania vto kopia w załączniku)
1)
y=-1/180x²+x
a)
p=-b/2a=-1/(-2/180) = 1/(1/90)=1*90*90
od początku układu współrzędnych do wierzchołka paraboli jest 90 jedostek, a od wierzchołka do końca paraboli drugie 90 jednostek
zasięg:
90m+90m=180m
b)
q=f(p)=-1/180*90²+90=-45+90=45m
2)
znając oś symetrii paraboli, mogę obliczyc 2 miejsce zerowe
p=9
20-9=11
9-11=-2
(-2;0)
y=a(x+2)(x-20)
2=a(0+2)(0-20)
2=-40a
a=-2/40
a=-1/20
y=-1/20(x+2)(x-20)
y=-1/20(x²+2x-20x-40)
y=-1/20x²+0,9x+2
b)
q=-Δ/4a
Δ=0,81+0,4=1,21
q=-1,21 / -4/20 = -1,21 /-0,2 = 6,05m
3)
a) W=(0,2 ; 5)
A=(0,2)
y=a(x-p)²+q
2=a(0-0,2)²+5
2=a*0,04+5
-3=0,04a
a=-75
y=-75(x-0,2)²+5
b)
szukamy miejsca zerowego:
0=-75(x-0,2)²+5
0=-75(x²-0,4x+0,04)+5
-5=-75x²+30x-3
-75x²+30x+2=0
Δ=900+600=1500
x₁=(-30-10√15)/-150=1/5+1/15√15≈0,46s
widać, że czas ten określa miejsce zerowe dodatnie, więc drugiego już nie szukamy
D=<0; 1/5+1/15√15>
c)
y = -75 x² +30x +2 - 2,24 = -0,75 x² + 30 x - 0,24
Δ = 900 - 72 = 828
√Δ = 6√23
x₁ = (-30 - 6√23)/-150 = (5 + √23)/25
x₂=(-30 + 6√23)/-150 = (5 - √23)/25
(5 +√23)/25 - (5 - √23)/25 = [2√23]/25 ≈ 0,38s