Question

Dla jakiej wartości parametru k równanie (k-1)X^2 + (k+4)x+k+7=0 ma jeden pierwiastek rzeczywisty?

Answer 1

Odpowiedź: k∈{-22/3; 2}

Rozwiązanie:
Równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek rzeczywisty, gdy Δ = 0.
(k-1)x²+(k+4)x+k+7 = 0
Δ = (k+4)²-4*(k-1)*(k+7) = k²+8k+16-4*(k²+6k-7) = k²+8k+16-4k²-24k+28 = -3k²-16k+44

Z założenia, że Δ = 0 mamy:
-3k²-16k+44 = 0
Δ = (-16)² - 4*(-3)*44 = 256+528 = 784
√Δ = 28
k₁ = (16-28)/-6 = 2
k₂ = (16+28)/-6 = -22/3

Odpowiedź: k∈{-22/3; 2}

Answer 2

(k-1)x² + (k+4)x+k+7=0

a=k-1, b=k+4, c=k+7

Muszą być spełnione warunki:
1)a≠0 zatem k-1≠0 więc k≠1

2)Δ=0 , Δ=b²-4ac=(k+4)²-4(k-1)(k+7)=k²+8k+16-4(k²+7k-k-7)=k²+8k+16-4k²-24k+28=-3k²-16k+44=0
więc rozwiązujemy równanie -3k²-16k+44=0 ze względu na k
a(k)=-3, b(k)=-16, c(k)=44, Δ(k)=(-16)²-4*(-3)*44=256+528=784 √[Δ(k)]=±28, k₁=2 lub k₂=-44/6=-7 i 1/3

Zatem rozwiązaniem są k=2 lub k=-7 i 1/3 = -22/3