Question

Znajdź wszystkie wartości m, dla których suma różnych rozwiązań równania x^2 -2m (x-1) - 1 = 0
Jest równa sumie ich kwadratów

Answer 1

Doprowadzamy do postaci ogólnej równania kwadratowego:
x^2 - 2m(x-1) - 1 = 0
x^2 - 2mx + 2m - 1 = 0

Aby były dwa różne rozwiązania:
Δ > 0
4m² - 4(2m - 1) > 0
m² - (2m - 1) > 0
m² - 2m + 1 > 0
(m - 1)² > 0
dziedzina: m ≠ 1

Aby suma rozwiązań była równa sumie ich kwadratów:
x₁ + x₂ = x₁² + x₂²
x₁ + x₂ = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂
2x₁x₂ = (x₁ + x₂)² - (x₁ + x₂)
2x₁x₂ = (x₁ + x₂)[(x₁ + x₂) - 1]

ze wzorów viete'a
x₁ + x₂ = 2m/1 = 2m
x₁x₂ = (2m - 1)/1 = 2m - 1

2x₁x₂ = (x₁ + x₂)[(x₁ + x₂) - 1]
2(2m - 1) = 2m[2m - 1]
(2m - 1) = m(2m - 1)
0 = m(2m - 1) - (2m - 1)
0 = (2m - 1)(m - 1)
m = 1/2 lub m = 1

Po uwzględnieniu dziedziny (m ≠ 1):
m = 1/2

Answer 2

X² -2m (x-1) - 1 = 0
x² -2mx +2m- 1 = 0

rozne rozwiazania tzn Δ>0
x1+x2=x1²+x2²
x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2
x1+x2=(x1+x2)²-2x1x2

ze wzorow Viety
x1+x2=-b/a x1*x2=c/a

x² -2mx +(2m- 1) = 0
Δ>0→4m²-4(2m- 1)>0
m²-(2m- 1)>0
m²-2m+1)>0
Δ1=4-4=0
m1,2=2/2=1

WNIOSEK
rownanie x² -2mx +(2m- 1) = 0 ma rozne rozwiazania
gdy m≠1

a=1 b=-2m c=2m-1

x1+x2=(x1+x2)²-2x1x2
2m=4m²-2(2m-1)
4m²-6m+2=0
2m²-3m+1=0
Δ=9-8=1
m1=(3-1)/4=1/2
m2=(3+1)/4=1 nie nalezy do Dziedziny

Warunki zadania spelnione gdy m=1/2


Pozdrawiam

Hans