Question

Dla jakich wartości parametru k równanie (2k-5)X^2 -2(k-1)x +3=0 ma dwa różne pierwiastki dodatnie?

Answer 1

(2k-5)x² -2(k-1)x +3=0
a=2k-5
b=-2(k-1)
c=3

Warunki:
1) a≠0 więc 2k-5≠0 więc 2k≠5 /:2 więc k≠5/2 więc k≠2,5

2) Δ>0 więc Δ=b²-4ac=(-2(k-1))²-4*3*(2k-5)=4*(k-1)²-12*(2k-5)=4*(k²-2k+1)-12*(2k-5)=4k²-8k+4-24k+60=4k²-32k+64>0 Liczymy Δ dla k (oznaczmy ją Δk)
4k²-32k+64>0 a=4, b=-32, c=64
Δk=(-32)²-4*4*64=1024-1024=0
k₀=32/2*4=32/8=4
Czyli Δ>0 dla k∈(-∞,4)U(4,+∞)

3) x₁*x₂=c/a>0 czyli
3/(2k-5)>0, zatem 3*(2k-5)>0, 6k-15>0, 6k>15 /:6, k>2,5

4) x₁+x₂=-b/a>0 czyli
[2(k-1)]/[2k-5]>0 zatem 2(k-1)*(2k-5)>0,
k-1=0 dla k=1
2k-5=0 dla k=2,5
(jak narysujesz parabolę z ramionami do góry [wtedy a>0 czyli 2k-5>0, k>2,5] to po zaznaczeniu punktów 1 i 2,5 wychodzi przedział)
k∈(- ∞,1)U(2,5 , +∞)

Teraz bierzemy część wspólną wszystkich zbiorów zatem
1)k≠2,5
2)k∈(-∞,4)U(4,+∞)
3)k>2,5
4)k∈(- ∞,1)U(2,5 , +∞)

Rozwiązaniem jest k∈(4,+∞)