Question

Napisz równanie stycznej do okręgu o równaniu x²+y²-8x-4y=5 przechodzącej przez punkt P=(0,5)

Answer 1

Przekształcamy równanie okręgu:
(x²-8x+16)-16+(y²-4y+4)-4=5
(x-4)²+(y-2)²=25
okrąg o środku S(4, 2) i promieniu r=5

Wyznaczamy zależność miedzy b i a w równaniu prostej przechodzącej przez punkt P.
y=ax+b
5=0a+b
b=5
Czyli równanie ogólne ma postać
ax-y+5=0
Odległość między S i prostą musi się równać r więc korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej:
d(S, k)=|Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²)

5=|a*4-1*2+5|/√(a²+(-1)²)
5√(a²+1)=|4a+3| podnosimy do kwadratu, możemy ponieważ obie strony są dodatnie
25a²+25=16a²+24a+9
9a²-24a+16=0
Rozwiązujemy równanie kwadratowe:
Δ=24²-4*9*16=0
a=-b/2a=24/18=4/3

Równanie ma postać:
y=(4/3)a+5

Answer 2

X² +y² -8x -4y = 5
(x - 4)² -16 + (y - 2)² -4 = 5
(x - 4)² +(y - 2)² = 5 + 20 = 25 = 5²
S =(4; 2) oraz r = 5
P =(0; 5)
Styczna do okręgu w punkcie P =(0; 5) jest prostopadła do
prostej PS.
Szukamy równania pr. PS
y = ax + b
5 = 0*a + b , b = 5
2 = 4*a +b = 4*a + 5
4*a = 2 - 5 = -3
a = -3/4
pr. PS ma równanie y =(-3/4)*x + 5
Szukamy stycznej w punkcie P czyli prostej prostopadłej do
pr.PS
y = a1*x + b
a1 = - 1/a = = 4/3 oraz P = ( 0;5)
5 = (4/3)*0 + b
b = 5
Szukana styczna ma zatem równanie
y = (4/3)*x + 5