Question

Dla jakich wartości parametru t stosunek sumy pierwiastków rzeczywistych poniższego równania do ich iloczynu przyjmuje najmniejszą wartość. Wyznacz tę wartość.

Answer 1

x^2 + ( t - 5) x + t^2 + t + 1/4 = 0

 

delta = ( t  - 5)^2 - 4*1*( t^2 + t + 1/4) = t^2 - 10 t + 25 - 4 t^2 - 4 t - 1 = - 3 t^2  - 14 t + 24

delta musi być większa od 0 lub równa 0 aby były 2 pierwiastki (  jeden podwójny )

- 3 t^2 - 14 t + 24 > 0

delta1 = 196 - 4*(-3)*24 = 196 + 288 = 484

p ( delta1) = 22

t1 = ( 14 + 22) / ( -6) = - 6

t2 = ( 14 - 22) / ( -6) = - 8 / ( - 6) = 4/3

t  należy do  < - 6 ;  4/ 3 >

----------------------------------

 

 

x1 + x2 = - b / a = ( 5 - t) / 1 = 5 - t

x1* x2 = c / a = t^2 + t + 1/4

zatem

x1 + x2      5 - t

--------- =  ------------------

x1 *x2        t^2  + t + 1/4

               5 - t

S( t ) = -----------------

             t^2 + t + 1/4

Szukam najmniejszej wartości tej funkcji

                - 1*( t^2 + t + 1/4) - ( 5 - t)*(2 t + 1)           t^2 - 10 t -  5  1/4

 S ' ( t) = -----------------------------------------------  =   --------------------------

                    ( t^2 + t + 1/4)^2                                      [ ( t +  1/2)^2 ]^2

t  jest różne od   ( - 1/2)  i  mianownik jest dodatni.

S ' ( t ) = 0 < =>  t^2 - 10 t - 5  1/4   = 0

delta = 100 - 4*1*( - 5  1/4 ) = 100 + 21 = 121

p( delty) = 11

t = ( 10 - 11) / 2 = - 1/2   - nie należy do dziedziny pochodnej

t = ( 10 + 11) / 2 = 10,5  - nie należy do dziedziny funckcji S( t )

W  < - 6 ;  - 1/ 2)   pochodna jest > 0 , więc funkcja S ( t )   rośnie w tym przedziale czyli

przyjmuje najmniejszą wartość dla t = - 6

S ( - 6) = ( 5 + 6) / (36  - 6 + 1/4) = 11/ 30  1/4 = 44/ 121 = 4 / 11

======================================================

Answer 2

w załaczniku rozwiązanie