Dla jakich wartości parametru t poniższe równanie ma dokładnie jeden pierwiastek:.... Question from @lysavietta

November 2018 1 77 Report

Dla jakich wartości parametru t poniższe równanie ma dokładnie jeden pierwiastek:

$\frac{x+1}{2x-1}-\frac{2x+1}{x-1}=cost$

Dla ułatwienia na początek można przyjąć, że cały $cost$ jest naszym parametrem, więc oznaczymy $cost = p$ . Jako że zbiór wartości funkcji cosinusa jest ograniczony, należy zrobić założenie, które przewiduje, że $p \in <-1;1>$ .
Kolejnym krokiem powinno być określenie dzidziny funkcji znajdującej się po lewej stronie równania:
$x \not= \frac{1}{2}$ $x \not=1$
Stosując odpowiedni przekształcenia, można dojść do przystępniejszej formy rówania:
$\frac{x+1}{2x-1} - \frac{2x+1}{x-1} = p$

$\frac{(x+1)(x-1)}{(2x-1)(x-1)} - \frac{(2x+1)(2x-1)}{(2x-1)(x-1)} = p$

$\frac{x^2-1-4x^2+1}{(2x-1)(x-1)} = p$

$\frac{-3x^2}{2x^2-3x+1} = p$

Chcemy by to równanie miało dokładnie jeden pierwiastek:

$-3x^2 = 2px^2 -3px +p$

$0 = (2p+3)x^2-3px+p$

I tak będzie, gdy $\Delta$ tego równania będzie równa zero.

$\Delta = 9p^2 -4p(2p+3) = 9p^2 - 8p^2 - 12p$

$\Delta = p^2 - 12p = p(p-12)$

$0 =p(p-12)$

$(p=0 \vee p=12) \wedge p \in <-1;1>$

$p = 0 = cost$

$cost = cos(\frac{\pi}{2})$

$t = \frac{\pi}{2} + k\pi ; k \in C$

$\frac{-3x^2}{2x^2-3x+1} = 0 \Rightarrow x=0$

Z obliczeń wynika, że to równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy parametr p = 0. Dla takiej wartości parametru p, x = 0, zatem mieści się w wyznaczonej na początku dziedzinie. Potwierdza to, iż warunek postawiony w zadaniu jest spełniony, gdy parametr
$t = \frac{\pi}{2} +k\pi ; k \in C$