Question

Dla jakich wartości parametru m ∈ R równanie ma dwa różne rozwiązania.

Daję naj!!

Answer 1

Założenia:
m≠0 ∧ x≠-2

Zacznę od uproszczenia wyrażenia:
 
(x-2)(x+2)=(2x-m)m
x²-4=2xm-m²
x²-2mx-4+m²=0

Jest to równanie kwadratowe, więc aby miało dwa różne rozwiązania musi spełniać warunki:
a≠0   ∧ Δ>0

Pierwszego warunku nie rozważamy, bo nasze a=1, nie ma w nim parametru, więc oczywiście jest spełniony. Zajmę się 2 warunkiem:

Δ>0

x²-2mx-4+m²=0 
 a=1 b=-2m c=-4+m² Δ=(-2m)²-4*1*(-4+m²)

Δ=(-2m)²-4*1*(-4+m²)
Δ=4m²+16-4m²
Δ=16

Parametr się zredukował, została nam Δ=16 więc Δ>0 więc warunek jest spełniony bez względu na wartość "m" stąd:
m∈R

Na początku pisałam założenia, trzeba je uwzględnić w rozwiązaniu:
m∈R-{0}