Question

Dla jakich wartości parametru k reszta z dzielenia wielomianu W(x)=x⁴-2x³+7kx²+x+6 przez dwumian x-k jest większa od 1?

rozwiązanie to przedział (-∞;-5)U(-1;∞)

Proszę o wytłumaczenie, krok po kroku, jak do tego dojść.

Answer 1

W(x) = x⁴ - 2x³ + 7kx² + x + 6
W(x) = G(x)(x - k) + R(x)
R(x) = c - liczba rzeczywista, bo reszta musi być o stopień mniejsza od x - k, nie zależy od x, tylko od k

podstawiamy x = k:
W(k) = G(k)(k - k) + c = 0 + c = c
W(k) = c
c = (k)⁴ - 2(k)³ + 7k(k)² + k + 6
c = k⁴ + 5k³ + k + 6
c > 1
k⁴ + 5k³ + k + 6 > 1

ostatecznie mamy nierówność do rozwiązania:
k⁴ + 5k³ + k + 5 > 0
k³(k + 5) + (k + 5) > 0
(k + 5)(k³ + 1³) > 0
wzór: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
(k + 5)(k + 1)(k² - k + 1) > 0
k² - k + 1 > 0 zawsze (Δ < 0, a > 0), można podzielić
(k + 5)(k + 1) > 0
k ∈ (-∞; -5) u (-1; ∞)

jak masz pytania to pisz na pw

Answer 2

Dla jakich wartości parametru k reszta z dzielenia wielomianu W(x)=x⁴-2x³+7kx²+x+6 przez dwumian x-k jest większa od 1?

reszta z dzielenia z Bezout'a jest równa W(k)=r>1
W(k)=k⁴-2k³+7k*k²+k+6
W(k)=k⁴+5k³+k+6
k⁴+5k³+k+6>1
k⁴+5k³+k+5>0
k³(k+5)+1(k+5)>0
(k³+1)(k+5)>0
(k+1)(k+5)(k²-k+1)>0
k=-1, k=-5,k²-k+1>0 dla k∈R

zał.nier.3
k∈(-∞;-5)U(-1;∞)