Question

Dany jest trójmian kwadratowy f o współczynniku 2 przy najwyższej potędze x. Funkcja przyjmuje wartość najmniejszą równą (-10) dla argumentu równego 1. Wyznacz najmniejszą i największa wartość tej funkcji w przedziale <-3;5>

Answer 1

Skoro mamy trójmian kwadratowy o współczynniku a=2 możemy go zapisać w postaci:

 

 

Wiemy także, że dla x=1 wartość w/w trójmianu wynosi -10. Jest to zarazem minimum tej funkcji oraz punkt ten określa współrzędne wierzchołka paraboli:

 

 

Wiemy także, że punkt p=x=1 określa współrzędną x-ową, natomiast punkt q=y=-10 określa współrzędną y-kową naszego trójmianu.

Wobec tego, mżemy zapisać:

 

Mając już wszytkie współczynniki trójmianu możemy go zapisać w postaci:

 

Mamy zbadać, największą i najmniejszą wrtość funkcji w przedziale <-3, 5>.

Obliczamy wartości funkcji w podanych krańcach przedziałów, czyli dla x=-3 oraz x=5:

 

Jak widać w podanym, przedziale <-3, 5> minimum funkcji znajduje się w punkcie x=1 i wynosi -10, natomiast wartośc maksymalna osiąga w 2 punktach (na krańcach przedziału) w punkcie x=-3 osiąga wartość 22 oraz w punkcie 5 także osiąga wartość 22.

Answer 2

y = ax²+bx+c  - wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej

a = 2

------

y = 2x²+bx+c

f(-1) = -10  - najmniejsza wartość funcji,zatem:

W(p;q)  - współrzędne wierzchołka paraboli

W(1; -10)

p = -b/2a

1 = -b/4   

-b = 4

b = -4

-------

q = -Δ/4a

-10 = -Δ/8

-Δ = -80

Δ = 80

Δ = b²-4ac

80 = (-4)²-4·2c

80 = 16-8c

8c = 16-80

8c = -64  /:8

c = -8

-------

y = 2x²-4x-8,          <-3; 5>

===========

1. Obliczamy wielkości: f(-3), f(5) 

f(-3) = 2·(-3)²-4·(-3)-8 = 18+12-8 = 22

f(5) = 2·5²-4·5-8 = 50-20-8 = 22

Xw = p = 1

2. sprawdzamy, czy Xw należy do danego przedziału:

- Xw ∈ <-3; 5>

- Yw = -10

Wybieramy wartość największą i wartość najmniejszą funkcji w danym przedziale spośród liczb f(-3),f(5),Yw ; są to szukane wielkości.

 

W przedziale <-3; 5> funkcja f przyjmuje najmniejszą wartość równą -10, a największą wartość równą 22 (na końcach przedziału).