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L = ∫√(1 + y ' ²) dx entre a y b
Debemos hallar a y b, extremos de los contornos
Igualamos: x² - 2 x = 4 - x²; o bien 2 x² - 2 x - 4 = 0
Resolvemos: a = - 1, b = 2
Primera función: y ' = - 2 x
1 + y ' ² = 1 + 4 x²
La integral es un tanto compleja. Usando tablas de integrales se obtiene
I = 1/4 [Ln √(1 + 4 x²) + 2 x] + 1/2 x √(1 + 4 x²)
Para los extremos del problema L1 = 6,257
Segunda función: y ' = 2 x - 2
1 + y ' ² = 4 x² - 8 x + 5; la integral es:
I = 1/4 [ Ln√(4 x² - 8 x + 5) + 2 x - 2] + 1/2 (x - 1) √(4 x² - 8 x + 5)
Para los extremos del problema I2 = 6,1257
En el gráfico adjunto se aprecia que los dos contornos son iguales.
El contorno vale entonces 2 . 6,1254 = 12,514
Saludos Herminio