Uprosc wyrazenie a) tg(Π/4 + α)(cos(do kwadratu)α-sin(do kwadratu)α) b) ctg(Π/4 + α)(cos(do kwadratu.... Question from @Sandryyk

December 2018 1 16 Report

Uprosc wyrazenie
a) tg(Π/4 + α)(cos(do kwadratu)α-sin(do kwadratu)α)
b) ctg(Π/4 + α)(cos(do kwadratu)α-sin(do kwadratu)α)

Paawełek Wyprowadzę Ci jeden ze wzorów. Drugi spróbuj wyprowadzić sama analogicznie :)
$\hbox{Ze wzoru:} \\ \sin(x+y)=\sin x \cos y +\cos x \sin y \\ \hbox{Mamy wzor (1):} \\ \sin(\frac{\pi}{4}+\alpha)=\sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos \alpha+\cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin\alpha= \frac{\sqrt{2}}{2}\cos \alpha+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \alpha=\\ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (\sin \alpha+\cos \alpha) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\sin \alpha+\cos \alpha) = \frac{\sin \alpha+\cos \alpha}{\sqrt{2}}$

Zgodnie ze wzorem cos(x+y) wyprowadzasz ten wzór:
$\cos (\frac{\pi}{4}+\alpha)=\frac{\cos x -\sin x}{\sqrt{2}}$

Skąd:
$\tan (\frac{\pi}{4}+\alpha) (\cos^2 \alpha -\sin^2 \alpha) = \frac{\sin(\frac{\pi}{4}+\alpha)}{\cos (\frac{\pi}{4}+\alpha)} \cdot (\cos^2\alpha -\sin^2\alpha)= \\ = \frac{\frac{\sin \alpha+\cos \alpha}{\sqrt{2}}}{\frac{\cos \alpha-\sin \alpha}{\sqrt{2}}} \cdot (\cos^2\alpha -\sin^2 \alpha)= \\ =\frac{\sin \alpha +\cos \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} \cdot (\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha+\sin \alpha)=\\ =\sin \alpha+\cos \alpha)(\sin \alpha+\cos \alpha)=$
$=\sin^2\alpha+2\sin \alpha \cos \alpha+\cos^2\alpha=1+2\sin \alpha \cos \alpha= \\ = \boxed{1+\sin(2\alpha)}$

W przykładzie b) posłużymy się tym, że w przykładzie a) wyliczyłem ,że:
$\tan(\frac{\pi}{4}+\alpha)=\frac{\sin \alpha +\cos \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} \\ \hbox{Zatem odwrotnoscia bedzie kotangens:} \\ \\ \cot (\frac{\pi}{4}+\alpha}=\frac{\cos\alpha -\sin \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha}$

Zatem:
$\cot (\frac{\pi}{4}+\alpha)(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)=\\ =\frac{\cos \alpha -\sin \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha} \cdot (\cos \alpha+\sin \alpha)(\cos\alpha-\sin \alpha)= \\ = (\cos \alpha-\sin \alpha)(\cos \alpha-\sin \alha)= \\ = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha -2\sin \alpha\cos\alpha=\boxed{1-\sin(2\alpha)}$

0 votes Thanks 0