Question

1.Dla dowolnej liczby rzeczywistej x należącej do (0,1)\cup(1,\infty) liczby log_2{x} ,log_m{x}, log_4{x} są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz m

2. Rozwiąż równianie: 2^1*2^3*2^5*...*2^2x-1= 64*4^x+1

Błagam o pomoc :/

Answer 1

z.1

Treśc nie jest czytelna.

z.2

2^1 * 2^3 * 2^5 * ... * 2^(2x -1) = 64*4^(x + 1)

2^( 1 + 3 + 5 + ... + 2x - 1) = 4^3* 4^(x + 1) = 4^(x + 4) = 2^(2x + 8)

czyli

1 + 3 + 5 + ... + (2x - 1) = 2x + 8

Lewa strona to suma ciagu arytmetycznego:

a1 = 1  ,  r = 2, an = 2x - 1

ale

an = a1 + (n -1)*r = 1 + (n -1)*2 = 1 +2n -2 = 2n - 1

czyli

2x - 1 = 2n - 1

n = x

===

Sn = 1 + 3 + 5 + ... + (2x - 1) = 0,5*[a1 + an]*n = 0,5*[ 1 + 2x-1]*x = x^2

czyli mamy

x^2 = 2 x + 8

x^2 - 2 x - 8 = 0

delta = (-2)^2 - 4*1*(-8) = 4 + 32 = 36

p (delty) = 6

x = [ 2 - 6]/2 < 0  - odpada, bo x  - liczba naturalna

x = [ 2 + 6]/2 = 4

Odp. x = 4

==============