Question

36. Na ile sposobów możne ustawić się w szeregu grupa 5 chłopców i 5 dziewcząt, tak aby dwie osoby tej samej płci nie stały obok siebie?

37. Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach?

38. Na przyjęcie przyszła pewna liczba osób, przy czym każdy witał się z każdym. Ile było osób na przyjęciu, jeśli nastąpiło 45 powitań?

39. Z oddziału liczącego 30 żołnierzy i 3 oficerów należy wybrać wartę składającą się z jednego oficera i 5 żołnierzy. Ile jest możliwości wyboru takiej warty?

40. Z ilu osób składa się grupa , jeżeli wiadomo, że można je posadzić w trzyosobowych ławkach na sześć sposobów?

Answer 1

z.36

Mamy 5 chłopców: C1,C2,C3,C4,C5  i  5 dziewcząt D1,D2,D3,D4,D5

Moga być takie ustawienia:

1) C1D1C2D2C3D3C4D4C5D5 , więc   N1 = 5 ! * 5 !

2) D1C1D2C2D3C3D4C4D5C5, więc   N2 = 5 ! * 5 !

Mamy zatem

N = N1 + N2 = 2* 5 ! * 5 ! = 2*120*120 = 28 800

============================================

z.37

Cyfry: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Cyfrą tysięcy może być jedna z 9 cyfr oprócz zera

Cyfrą setek może być jedna z pozostałych 9 cyfr ( w tym 0)

Cyfrą dziesiątek może byc jedna z pozostałych 8 cyfr

cyfrą jedności może być jedna z pozostałych 7 cyfr

zatem mamy liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach

N = 9*9*8*7 = 81 * 56 = 4 536

================================

z.38

n - liczba osób

[ n*(n -1)]/2  - liczba powitań

zatem

[ n*( n - 1)]/2 = 45  / * 2

n*(n -1) = 90 = 10*9

czyli

n = 10

=====

Na przyjęciu było 10 osób.

spr. Każda z 10 osób wita się z każdą z 9 osób, czyli

10 *9 = 90, ale wtedy każda osoba wita się 2 razy

A z B  i B z A

dlatego wynik 90 dzielimy przez 2 i otrzymujemy 45 powitań.

=------------------------------------------------------------------------------

z.39

30 -żołnierzy

3 - oficerów

warta: 1 oficer + 5 żołnierzy

N  - ilośc wart

N = ( 3 nad 1)*( 30 nad 5) = 3* 142 506 = 427 518

=============================================

bo

( 3 nad 1) = 3

( 30 nad 5) = 30 ! / [ 5 ! * 25 ! ] = [ 26*27*28*29*30 ]/ 5 ! =

= [ 26*27*28*29*30] / 120 = 26*27*7*29 = 142 506

------------------------------------------------------------------------------

z.40

Grupa składa się z 3 osób, bo

3 ! =1*2*3 = 6

===============================

iNACZEJ :

 Pierwszą osobę można posadzić  na jednej z 3 ławek  - 3 możliwości,

drugą osobę można posadzić już tylko na jednej z 2 ławek  - 2 możliwości

trzecią osobę można posadzić tylko na pozostałej jednej ławce - 1 możliwość

czyli mamy  N = 3*2*1 = 6 możliwości.

 -----------------------------------------------------