Question

1. Udowodnij, że jeśli 5 n^2 +1 jest liczbą całkowitą podzielną przez 6 to ułamki n/2 i n/3 są nieskracalne.
2. Udowodnij, że dla każdej naturalnej n większej od 2 , jedna z liczby 2^n-1 , 2^n +1 jest złożona.

Answer 1

1. wtedy n nie dzieli ani 2 ani 3Zobaczmy kiedy Sprawdźmy najpierw reszty z dzielenia kwadratów liczb n =6k, n=6k+1, n=6k+2, ... n= 6k+5
kontynuując mamy




Stąd kwadrat liczby przy dzieleniu przez 6 możedać resztę 1,3, 4 lub 0
a mnożąc to przez 5 stronami i dodając 1, wynika, że liczba musi być postaci 6k+1 lub 6k+5 by dzieliło 6 czyli n/2 i n/3 są nieskracalne

2. Wśród trzech kolejnych liczb naturalnych dokładnie jedna z nich jest podzielna przez 3, a wiadomo, że nie jest, czyli jedna z liczb , jest podzielna przez 3, ponadto odkąd n jest większe od 2, to stąd co najmniej jedna jest liczbą złożoną.