Question

Mam 5 zadań z układów równań, proszę tylko o określenie co jest niewiadomą i ułożenie równań. W ostatnich zadaniach są 3 niewiadome to jakby można było to prosiłabym, żeby chociaż jedno rozwiązać, np. to o księgarni, żebym wiedziała jak to zrobić. Daję naj jeśli wyjdą poprawne wyniki:)

1. Tomek powiedział Ani:” Teraz mam 2 razy więcej lat, niż ty miałaś, gdy ja byłem w twoim wieku; gdy ty będziesz w moim wieku razem będziemy mieli 54 lata”. Ile lat ma Tomek i Ania?

2. Dwa kawałki stopu żelaza z niklem zawierają: jeden 10%, a drugi 35% niklu. Ile należy wziąć kilogramów z każdego kawałka stopu, aby otrzymać 2 tony stali o zawartości 25% niklu?

3. Trzy wioski A, B i C postanowiły zbudować oczyszczalnię ścieków. Liczba mieszkańców tych miejscowości jest w stosunku 5:6:4. Jaką kwotę powinna zebrać każda z tych miejscowości, jeżeli koszt budowy oczyszczalni ma wynieść 3 600 000 zł, a mieszkańcy mają pokryć 45% kosztów budowy proporcjonalnie do liczby mieszkańców tych wiosek?

4. Pan Kowalski wygrał „szóstkę” w Dużym Lotku. Postanowił całą wygraną rozdzielić między trzech synów tak, aby drugi otrzymał o 200 000 zł mniej niż pierwszy, a trzeci o 200 000 zł mniej niż drugi. Cała wygrana była 0 250 000 zł większa od czterokrotnej wartości pieniędzy przypadających na trzeciego syna. Ile wygrał pan Kowalski i ile pieniędzy otrzymał każdy z synów?

5. Księgarnia zakupiła w Wydawnictwie SENS trzy książki (komplet) w cenie 50zł, a sprzedawała ten komplet książek 0 35,8% drożej. Na pierwszej części (książce) tego kompletu księgarnia zarobiła 33 1/3 %, na drugiej 40%, a na trzeciej 35%. Za pierwsze dwie części (książki) tego kompletu trzeba było zapłacić 0 30,1zł więcej niż za trzecią część. Księgarnia sprzedała 150 egzemplarzy pierwszej części, 120 egzemplarzy drugiej części i 180 trzeciej części. Jaki zysk miała księgarnia ze sprzedaży tych książek?

Answer 1

1.
t - wiek Tomka
a- wiek Ani
t+(t-a)+a+(t-a)=54
t=2*(a-(t-a)), czyli układ równań wygląda tak:
3t-a=54
t=4a-2t

a=18, t=24

2. ą-masa stopu 10-procentowego(kg)
ę-masa stopu 35-procentowego(kg)

0,1ą+0,35ę=0,25(ą+ę)
ą+ę=2000

3.
0,45*3600000=1620000
4a-kwota, jaką mają zapłacić mieszkańcy C
6a-kwota jaką mają zapłącić mieszkańcy B
5a-kwota, jaką mają zapłacić mieszkańcy A
Mamy więc równanie:
4a+5a+6a=1620000

4.Jeżeli to koniecznie muszą być układy równań, to można przyjąć 2 dodatkowe niewiadome za x-200000 i s-400000, ale jest to sztuczne i niepotrzebne. Tak więc:
s-kwota, jaką otrzymał pierwierszy syn
s-200000-kwota, jaką otrzymał drugi syn
s-400000-kwota, jaką otrzymał trzeci syn
s+s-200000+s-400000=250000+4(s-400000)

5.
0,358*50=17,9
x-cena 1. części
y-cena 2. części
z-cena 3. części
x+y+z=50
1,(3)x+1,4y+1,35z=67,9
1,(3)x+1,4y=30,1+1,35z
Odejmując trzecie równanie od drugiego otrzymujemy:
1,35z=67,9-30,1-1,35, czyli
2,7z=37,8
z=14.
Teraz mamy już układ 2 niewiadomych:
x+y=36
1,(3)x+1,4y=49, co po rozwiązaniu daje nam:
y=15
x=21

Pozdrawiam.

Answer 2

1. Tomek powiedział Ani:” Teraz mam 2 razy więcej lat, niż ty miałaś, gdy ja byłem w twoim wieku; gdy ty będziesz w moim wieku razem będziemy mieli 54 lata”. Ile lat ma Tomek i Ania?

Tomek ma x lat
Ania ma y lat

Tomek jest starszy od Anii, bo mówi: "gdy ja byłem w twoim wieku..."
Zatem x > y
Tomek był w wieku Anii x-y lat temu
Wtedy Ania miała: y - (x-y) = 2y - x lat

Tomek jest 2 razy starszy, niż Ania była wtedy, czyli:
x = 2 * (2y-x) czyli x = 4y - 2x czyli 3x = 4y

Gdy Ania będzie w wieku tomka, to ona będzie mieć x lat, a Tomek x + (x-y) = 2x-y
Razem to będzie 54, czyli:
x + 2x-y = 54 czyli 3x - y = 54



2. Dwa kawałki stopu żelaza z niklem zawierają: jeden 10%, a drugi 35% niklu. Ile należy wziąć kilogramów z każdego kawałka stopu, aby otrzymać 2 tony stali o zawartości 25% niklu?

bierzemy x kg pierwszego stopu oraz y kg drugiego
x + y = 2 tony = 2000kg (czyli x + y = 2000)

Poza tym chcemy, żeby w sumie było tam 25% niklu, czyli
x * 10% + y * 35% = 2000 * 25%


3. Trzy wioski A, B i C postanowiły zbudować oczyszczalnię ścieków. Liczba mieszkańców tych miejscowości jest w stosunku 5:6:4. Jaką kwotę powinna zebrać każda z tych miejscowości, jeżeli koszt budowy oczyszczalni ma wynieść 3 600 000 zł, a mieszkańcy mają pokryć 45% kosztów budowy proporcjonalnie do liczby mieszkańców tych wiosek?

x - tyle płacą ludzie z A
y płacą ludzie z B
z - płacą ludzie z C

x / y = 5 / 6
y / z = 6 / 4
x + y + z = 3600000 * 45%

4. Pan Kowalski wygrał „szóstkę” w Dużym Lotku. Postanowił całą wygraną rozdzielić między trzech synów tak, aby drugi otrzymał o 200 000 zł mniej niż pierwszy, a trzeci o 200 000 zł mniej niż drugi. Cała wygrana była 0 250 000 zł większa od czterokrotnej wartości pieniędzy przypadających na trzeciego syna. Ile wygrał pan Kowalski i ile pieniędzy otrzymał każdy z synów?

pierwszy dostał: x
drugi y
trzeci z

y = x - 200 000
z = y - 200 000
x + y + z = 250 000 + 4z


5. Księgarnia zakupiła w Wydawnictwie SENS trzy książki (komplet) w cenie 50zł, a sprzedawała ten komplet książek 0 35,8% drożej. Na pierwszej części (książce) tego kompletu księgarnia zarobiła 33 1/3 %, na drugiej 40%, a na trzeciej 35%. Za pierwsze dwie części (książki) tego kompletu trzeba było zapłacić 0 30,1zł więcej niż za trzecią część. Księgarnia sprzedała 150 egzemplarzy pierwszej części, 120 egzemplarzy drugiej części i 180 trzeciej części. Jaki zysk miała księgarnia ze sprzedaży tych książek?


Książki w wydawnictwie kosztowały odpowiednio x, y i z zł.
W sumie dało to 50zł, czyli
x + y + z = 50

Wiemy, ile procent księgarnia zarabiała na każdym rodzaju książki, oraz wiemy średnio zarabiała, czyli
133,(3)% x + 140% y + 135% z = 50 * 135,8%

Poza tym, wiemy, że dwie pierwsze są o 30,1 zł droższe, niż trzecia, czyli
133,(3)% x + 140% y = 30,1 + 135%z

JaK rozwiązywać taki równania?
Ja proponuję metodę podstawiania, bo ona zawsze działa.
Akurat w tym przypadku nie jest może ona najszybsza, ale spróbuję ją opisać:

x + y + z = 50
133,(3)% x + 140% y + 135% z = 50 * 135,8% |*300
133,(3)% x + 140% y = 30,1 + 135%z |*300

Najpierw pozbądźmy się ułamków:

x + y + z = 50
400x + 420y + 405z = 50 * 407,4 = 20370 |/5
400x + 420y = 9030 + 405z |/5

x + y + z = 50
80x + 84y + 81z = 4074
80x + 84y -81z = 1806

Teraz wyznaczamy z z pierwszego równania i pozdstawiamy do pozostałych dwóch:
z = (50 - x - y)

80x + 84y + 81(50 - x - y) = 4074
80x + 84y -81(50 - x - y) = 1806

80x + 84y - 81x - 81y + 81*50 = 4074
80x + 84y + 81x + 81y - 81*50 = 1806

-x + 3y = 4074 - 81*50 = 4074 - 4050 = 24
161x + 165y = 1806 + 4050 = 5856

a teraz już metoda przeciwnych współczynników:

-x + 3y = 24 |*(-55)
161x + 165y = 5856

55x - 165y = -1320
161x + 165y = 5856
sumujemy stronami

216x = 4536
x = 4536 / 216 = 21

I teraz podstawiamy wyniki obliczając kolejne wartości, najpierw y
-x + 3y = 24
3y = 24 + x = 24 + 21 = 45
3y = 45
y = 15

z = 50 - x - y = 50 - 21 - 15 = 50 - 36 = 14