Question

1. Wyznacz współczynniki a,b i c trójmianu kwadratowego f(x)=ax² + bx + c, wiedząc, że f(0)=1 oraz ymin=f(2)=-4

2. Nie obliczając miejsc zerowych x₁, x₂ funkcji kwadratowej f(x)=2x²-2x-5, oblicz wartość wyrażenia: x₁² + x₂²-2x₁x₂

3. Dla jakich wartości parametru m równanie x² - 2mx + m² - 1 = 0 ma dwa różne pierwiastki należące do przedziału <-2;6> ?

Answer 1

1. Wyznacz współczynniki a,b i c trójmianu kwadratowego f(x)=ax² + bx + c, wiedząc, że f(0)=1 oraz ymin=f(2)=-4
f(0)=c=1
f(2)=4a+2b+1=-4
4a+2b=-5
ymin - współrzędna y wierzchołka wykresu tej funkcji, ramiona skierowane do góry -> a>0
y=-Δ/4a
Δ=b²-4a
4ay=-b²+4a
b²=4a-4ay=4a+16a=20a

4a+2b=-5
b²=20a

b=-2,5-2a
(-2,5-2a)²=20a

6,25+10a+4a²=20a
4a²-10a+6,25=0
16a²-40a+25=0
(4a-5)²=0
4a=5
a=1,25
b=-5

f(x)=1,25x²-5x+1

2. Nie obliczając miejsc zerowych x₁, x₂ funkcji kwadratowej f(x)=2x²-2x-5, oblicz wartość wyrażenia: x₁² + x₂²-2x₁x₂
a=2
b=-2
c=-5
x₁² + x₂²-2x₁x₂=(x₁+x₂)²-4x₁x₂=(-b/a)²-4c/a=(2/2)²+20/2=1+10=11

3. Dla jakich wartości parametru m równanie x² - 2mx + m² - 1 = 0 ma dwa różne pierwiastki należące do przedziału <-2;6> ?
x² - 2mx + m² - 1 = 0
Δ=4m²-4m²+4=4 > 0 ok.
x₁=(2m+2)/2=m+1
x₂=(2m-2)/2=m-1
m-1≥-2 i m+1≤6
m≥-1 i m≤5
m∈<-1,5>

Answer 2

1.
f(0)=1 => c=1

ymin=f(2)=-4
To oznacza, ze funkcja przyjumje najmniejsza wartosc rowna -4 dla 2. Czyli a>0, Xw=2 Yw=-4

-b/2a=2
b=-4a
f(2)=4
4a+2b+c=-4
4a-8a+1=-4
-4a=-5
a = 5/4
b= -5
c= 1

2.
x₁²+x₂²-2x₁x₂= (x₁+x₂)²-4x₁x₂

x₁+x₂=1
x₁x₂= -5/2

(x₁+x₂)²-4x₁x₂=1 +10=11

3.
Zal:
Δ>0 ∧ f(6)≥0 ∧ f(-2)≥0 ∧ 6>Xw>-2
Δ>0
4m²-4(m²-1)>0
4>0
Spelnione dla kazdego m∈R

f(6)≥0
36-12m+m²-1≥0
m²-12+35≥0
(m-7)(m-5)≥0
m∈(-∞,5>u<7,+∞)

f(-2)≥0
4 +4m +m²-1≥0
m²+4m+3≥0
(m+3)(m+1)≥0
m∈(-∞,-3>u<-1,+∞)

6>Xw>-2
Xw<6
m<6

Xw>-2
m>-2

Zm=<-1,5>

Answer 3

F(0)=1
f(0)=c
f(2)=-4
f(2)=4a+2b+1
4a+2b+1=-4
4a=-2b-5
oraz wiemy że y min to wierzchołek zatem a >0
oraz -b/2a =2
czyli -b=4a <-- podstawiamy do poprzedniego
-b=-2b-5
b=-5
a=5/4

2. widzimy ze to wzór skróconego mnożenia x₁² + x₂²-2x₁x₂=(x₁ -x₂)²=(x₁+x₂)² -4x₁x₂ korzystając z wzorów Vieta
=1-4 * (-5/2)=1+10=11
3.Δ>0
f(-2)≥0
f(6)≥0
to jako układ równań rozwiązujemy