Question

5.73
Pole kwadratu jest równe polu prostokąta, w którym jeden bok jest o 4 cm krótszy, a drugi o 6 cm dłuższy od boku tego kwadratu. Oblicz obwód i pole kwadratu zbudowanego na przekątnej prostokąta.

5.79
Obwód rombu jest równy 4√10, a suma długości przekątnych wynosi 6√2. Oblicz:
a) pole rombu
b) wysokość rombu.

Answer 1

5.73

Dane:

x = a - 4 cm
y = a + 6 cm
Pkw = Ppr
a = ? [cm]
P = ? [cm²]
Obw = ? [cm]

P = d²

Obw = 4d

d² = x² + y²

Pkw = a²

Ppr = (a - 4)(a + 6)

a² = (a - 4)(a + 6)

a² = a²+ 6a - 4a - 24

a² - a²+ 24 = 6a - 4a

2a = 24 /: 2

a = 12 cm

x = 12 cm - 4 cm

x = 8 cm

y = 12 cm + 6 cm

y = 18 cm

d² = (12 cm)² + (18 cm)²

d² = 144 cm² + 324 cm²

d² = 468 cm²

d = √(468 cm²)

d = √36*13 cm

d = 6√13 cm


P = 468 cm²

Obw = 24√13 cm

Odp: Pole kwadratu wynosi 468 cm², a jego obwód 24√13 cm.


5.79

Dane:

Obw = 4√10
x + y = 6√2
P = ? [cm²]
h = ? [cm]

4a = 4√10 / :4

a = √10

(0,5x)² + (0,5y)² = a²

0,25x² + 0,25y² = (√10)² //*4

{ x² + y² = 40
{ x + y = 6√2

{ y = 6√2 - x
{ x² + y² = 40

{ y = 6√2 - x
{ x² + (6√2 - x)² = 40

{ y = 6√2 - x
{ x² + 72 - 12√2x + x² = 40

{ y = 6√2 - x
{ 2x² - 12√2x + 32 = 0 /:2

{ y = 6√2 - x
{ x² - 6√2x + 16 = 0

x² - 6√2x + 16 = 0
Δ = 72 - 64 = 8
√Δ = 2√2

x = (6√2 - 2√2)/2 lub x = (6√2 + 2√2)/2

x = 2√2 cm lub x = 4√2 cm

y = 4√2 cm lub y = 2√2 cm

P = 0,5* (4√2 cm)*(2√2 cm)

P = 8 cm²

Odp: Pole rombu wynosi 8 cm².


b)

Dane:

a = 12 cm
P = 8 cm²
h = ? [cm]

P = ah

12cm *h = 8 cm² /:12 cm

h = 2/3 cm

Odp: Wysokość rombu wynosi 2/3 cm.