Question

1. Dana jest funkcja określona wzorem f(x)=x²-6x+8. Rozwiąż nierówność f(x)>8.

2. Sporządź wykres funkcji f(x)=Ix² - 4x. W zależności od parametru m wyznacz liczbę rozwiązań równania: f(x)=m-1.

3. Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji f(x)=(1+x²)/√(x²+12x+|m| ) jest zbiór R?

4. Niech f(m) oznacza liczbę pierwiastków równania
2mx² - (2m+8)x + 2m +5 = 0. Wyznacz funkcję f(m) i sporządź jej wykres.

Answer 1

1. Dana jest funkcja określona wzorem f(x)=x²-6x+8. Rozwiąż nierówność f(x)>8.
x²-6x+8>8
x²-6x>0
x(x-6)>0
x∈(-∞,0)U(6,∞)

2. Sporządź wykres funkcji f(x)=Ix² - 4x|. W zależności od parametru m wyznacz liczbę rozwiązań równania: f(x)=m-1.
//mam tylko nadzieję, że dobrze odczytałam ten moduł ;p bo był przed x² i tak sobie sama go zakończyłam [; chcesz koniecznie ten wykres fcji? jeśli tak, napisz mi wiadomość, to go narysuję, zeskanuję i prześlę.//
f(x)=Ix² - 4x|
f(x)=Ix(x-4)|

i teraz liczba rozwiązań zależy także od x:
gdy x∈(-∞,0>U<4,∞), f(x)=x²-4x
x²-4x=m-1
x²-4x-m+1=0
Δ=16+4m-4=12+4m
dla 12+4m<0 - brak rozwiązań
4m<-12
m<-3
dla 12+4m=0 - 1 rozwiązanie
4m=-12
m=-3
dla 12+4m>0 - 2 rozwiązania
4m>-12
m>-3

gdy x∈(0,4), f(x)=-x²+4x
-x²+4x=m-1
x²-4x+m-1=0
Δ=16-4m+4=20-4m
dla 20-4m<0 - brak rozwiązań
4m>20
m>5
dla 20-4m=0 - 1 rozwiązanie
4m=20
m=5
dla 20-4m>0 - 2 rozwiązania
4m<20
m<5

3. Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji f(x)=(1+x²)/√(x²+12x+|m| ) jest zbiór R?
x²+12x+|m|>0
niech g(x)=x²+12x+|m|
funkcja g ma ramiona skierowane do góry. aby g(x)>0, funkcja ta nie może mieć miejsc zerowych, zatem Δ<0.
Δ=144-4|m|
144-4|m|<0
4|m|>144
|m|>36
m∈(-∞,-36)U(36,∞)

4. Niech f(m) oznacza liczbę pierwiastków równania
2mx² - (2m+8)x + 2m +5 = 0. Wyznacz funkcję f(m) i sporządź jej wykres.
niech g(x)=2mx² - (2m+8)x + 2m +5
Δ=(2m+8)²-4*2m(2m+5)=4m²+32m+64-16m²-40m=-12m²-8m+64=-4(3m²+2m-16)=-4(3m+8)(m-2)
gdy Δ<0 - brak rozwiązań
-4(3m+8)(m-2)<0
(3m+8)(m-2)>0
m∈(-∞, -8/3)U(2, ∞)
gdy Δ=0 - 1 rozwiązanie
-4(3m+8)(m-2)=0
(3m+8)(m-2)=0
m=-8/3 lub m=2
gdy Δ>0 - 2k rozwiązania
-4(3m+8)(m-2)>0
(3m+8)(m-2)<0
m∈(-8/3, 2)

f(m)=[duża klamra]0 dla m∈(-∞, -8/3)U(2, ∞)
1 dla m∈{-8/3, 2}
2 dla m∈(-8/3, 2)
//tu też pytam o wykres. jeśli jest taka potrzeba, wysilę się jeszcze trochę [; ale nie jest on specjalnie skomplikowany, więc myślę, że sama też byś dała radę. no ale jak coś, to pisz :)//