Question

Dane są takie dwa okręgi o(A,r1) o(B,r2), że

a) r1=2, r2=3, /AB/=k

b) r1=k, r2=k-1, /AB/=5

c) r1=3, r2=k, /AB/=4

d) r1=5-k, r2=k+1, /AB/=2

Określ położenie okręgów, w zależności od parametru k.

Answer 1

a = k + 1
b = 2k – 2
AB = 4k – 4
a > 0 i b > 0 k > - 1 i k > 1 k > 1
a > b k < 3
a < b k > 3

AB > a + b
4k – 4 > k + 1 + 2k – 2
4k – 4 > 3k – 1
k > 3 : okręgi wzajemnie zewnętrzne

AB = a + b
4k – 4 = k + 1 + 2k – 2
4k – 4 = 3k – 1
k = 3 : okręgi styczne zewnętrznie

│a - b│ < AB < a + b
│a - b│ < 4k – 4 < 3k – 1
4k – 4 < 3k – 1 i 4k – 4 > │a - b│
k < 3 i 4k – 4 > │a - b│ {dla k < 3 : a – b > 0}
k < 3 i 4k – 4 > a – b
k < 3 i 4k – 4 > - k + 3
k < 3 i 5k > 7
k < 3 i k >
k € ( , 3) : okręgi przecinające się

AB = │a - b│
4k – 4 = │- k + 3│
- k + 3 = 4k – 4 lub – k + 3 = 4 – 4k
k = lub k = , ale k > 1
ostatecznie:
k = : okręgi wewnętrznie styczne

AB = 0
4k – 4 = 0
4k = 4
k = 1: okręgi współśrodkowe
ale k > 1 (gdyby k = 1 to okrąg B miałby promień równy 0)

Answer 2

a = k + 1
b = 2k – 2
AB = 4k – 4
a > 0 i b > 0 k > - 1 i k > 1 k > 1
a > b k < 3
a < b k > 3

AB > a + b
4k – 4 > k + 1 + 2k – 2
4k – 4 > 3k – 1
k > 3 : okręgi wzajemnie zewnętrzne

AB = a + b
4k – 4 = k + 1 + 2k – 2
4k – 4 = 3k – 1
k = 3 : okręgi styczne zewnętrznie

│a - b│ < AB < a + b
│a - b│ < 4k – 4 < 3k – 1
4k – 4 < 3k – 1 i 4k – 4 > │a - b│
k < 3 i 4k – 4 > │a - b│ {dla k < 3 : a – b > 0}
k < 3 i 4k – 4 > a – b
k < 3 i 4k – 4 > - k + 3
k < 3 i 5k > 7
k < 3 i k > 
k € ( , 3) : okręgi przecinające się

AB = │a - b│
4k – 4 = │- k + 3│
- k + 3 = 4k – 4 lub – k + 3 = 4 – 4k
k = lub k = , ale k > 1 
ostatecznie:
k = : okręgi wewnętrznie styczne

AB = 0
4k – 4 = 0
4k = 4
k = 1: okręgi współśrodkowe
ale k > 1 (gdyby k = 1 to okrąg B miałby promień równy 0)

 

Mam nadzieję, że pomogłem i liczę na jan <------ :D