Question

Na trapezie równoramiennym opisany jest okrąg o promieniu 2 cm tak, że dłuższa podstawa jest średnicą tego okręgu. Długość ramienia trapezu jest równa długości promienia okręgu. Oblicz pole trapezu i długość jego przekątnej.

Answer 1

Pole trapezu:  P = 1/2 (a + b) * h
jeżeli dłuższa podstawa (a) jest średnicą okręgu to a = 2r = 4

Ramiona trapezu (=r) tworzą z dwoma promieniami (r) trójkąty  równoboczne (ΔAOD i ΔBOC) o boku r, które mają wszystkie kąty równe 60 stopni 
Wysokość tego trójkąta równobocznego jest jednocześnie wysokością trapezu (h), więc wysokość to: 
                                

W trapezie suma kątów przy jednym ramieniu to zawsze 180 stopni, czyli kąty przy wierzchołkach C i D (<ADC i <DCB) mają po 120 stopni.

A ponieważ suma kątów w trójkącie = 180 stopni, więc trójkąt COD jest równoboczny, czyli:
 b = r = 2
 Stąd pole trapezu:     

ponieważ  ΔCOD i ΔBOC są równoboczne to odcinek BD będący przekątną trapezu d jest równy sumie ich wysokości: