Question

1. Podaj zbiór rozwiązań równania.
(Tutaj po x następuje potęgowanie do drugiego stopnia)
b) (1-1/2x)2 = (3/2x-5)2
c) (16x2 - 8x +1) (9x2 - 4) = 0
2. Wyznacz liczbę rozwiązań równania
a) (√2 - 1) x2 + 2x + 2 = 0 ( x jest podniesiony do potęgi 2)
b) 13x2 - (2√3 -1)x + 1/8 = 0 ( 13x2 oznacza że x jest podniesiony do potęgi 2)
3.Wyznacz miejsca zerowe funkcji: f, g i h.
a) f(x) = 2x2 - 8x + 5, ( tutaj x jest do potęgi 2)
g(x) = 2(x - 1/4)2 - 8(x- 1/4) +5, ( tutaj cały nawias x - 1/4 jest podnisiony do potęgi 2)
h(x) = 2(x - √6/2)2 - 8(x - √6/2) + 5 (i tutaj tak samo cały pierwszy nawias jest podniesiony do potęgi 2)

Answer 1

1.b) (1-½x)² = (³/₂x-5)²

1 - x + ¼x² = ⁹/₄x² - 15x + 25

-16x + 2x² + 24 = 0

Δ = (-16)² - 4*2*24 = 256 - 192 = 64

√Δ = 8

x₁ = 16-8 / 4 = 2

x₂ = 16+8 / 4 = 6

 

 

c) (16x² - 8x +1) (9x² - 4) = 0 

16x² - 8x + 1 = 0

Δ = (-8)² - 4*1*16 = 64-64=0

x = 8 / 32 = ¼

 

9x² - 4 = 0

Δ = -4*(-4)*9 = 144

√Δ = 12

x₁ = -12-12 / 18 = -⁴/₃

x₂ = -12+12 / 18 = 0

2. a) (√2 - 1) x² + 2x + 2 = 0 

Δ = 2² - 4(√2-1) *2 = 4-8√2+8 = 12 - 8√2 > 0

dwa rozwiązania

 

b) 13x² - (2√3 -1)x + ⅛= 0 

Δ = -(2√3-1)² - 4*⅛ * 13 = -12 + 4√3 - 1 - ¹³/₂ = -13 + 4√3 - 6,5 = -19,5 + 4√3 < 0

zero rozwiązań.

3. a) f(x) = 2x² - 8x + 5

Δ = (-8)² - 4*2*5 = 64 - 40 = 24

√Δ = 2√6

x₁ = 8-2√6 / 4 = 4-√6 / 2

x₂ = 8+2√6 / 4 = 4+√6 / 2

 

g(x) = 2(x - ¼)² - 8(x- ¼) +5

2(x² - ½x + ¹/₁₆) - 8x + 2 + 5 = 0

2x²- x + ¹/₈ - 8x + 7 = 0

2x² - 9x + ⁵⁷/₈ = 0

Δ = (-9)² -4*2*⁵⁷/₈ = 81 - 57 = 24

√Δ = 2√6

x₁ = 9-2√6 / 4 

x₂ = 9+2√6 / 4

 

h(x) = 2(x - √6/2)² - 8(x - √6/2) + 5

2(x² - √6x + ³/₂) - 8x + 4√6 + 5 = 0

2x² - 2√6x + 3 - 8x + 4√6+ 5 = 0

2x² - (2√6+8)x + 4√6+8 = 0

Δ = (-2√6-8)² - 4*(4√6+8) * 2 = 88+32√6 - 32√6 - 64 = 24

√Δ = 2√6

x₁ = 2√6+8-2√6 / 4 = 2

x₂ = 2√6+8+2√6 / 4 = 4√6+8 / 4 = √6+2