Question

Jika α dan β akar akar persamaan x²- x + 3 = 0
tentukan persamaan kuadrat dengan akar akar berikut :

1. α/β dan β/α
2. 1/α +1 dan 1/β +1

Answer 1

X² - x + 3 = 0
a = 1 , b = -1, c = 3
α+β = -b/a = -(-1)/(1) = 1
α. β  = c/a = 3/1 = 3

a) Persamaan kuadrat baru
p= α/β
q = β/α
p+q = α/β +β/α = (α²+β²)/(αβ) = [(α+β)² - 2αβ]/(αβ) = [(1)² - 2(3)]/(3) = -5/3
p q = α/β . β/α  =1
PK baru --> x² - (p+q)x + (pq) = 0
x² -(-5/3)x + 1= 0
x² + 5/3 x + 1= 0 ...kalikan 3
3x² + 5x + 3 = 0

b) Persamaan kuadrat baru akar akarnya
p = 1/(α+1)
q = 1/(β+1)
p+ q = 1/(α+1) + 1/(β+1)= (α+β+2)/(α+1)(β+1)
p+ q = (α+β +2) / ( αβ +(α+β) + 1)
p+ q = (1+2)/(3+1+1)= 3/5

pq = 1/(α+1) x 1/(β+1) = 1/(αβ + α+β + 1) = 1/(3+1+1)= 1/5

PK baru x² -(p+q) x + (pq) =0
x² - (3/5)x + (1/5) = 0 ....kalikan dengan 5
5x² - 3x + 1 = 0
.

Answer 2

 Akar akar persamaan x²- x + 3 = 0 adalah α dan β 
α + β = 1, αβ = 3
1. Menentukan PK dengan akar akar α/β dan β/α
    Dengan rumus jumlah dan hasil kali akar
    α/β  + β/α = α² + β²    = (α + β)² - 2αβ                           
                         αβ                     αβ
                     = 1²- 2.3
                             3
                     = -5/3
     
      (α/β)(β/α) = 1
       
      Persamaan Kuadratnya adalah : x² - (-5/3)x + 1 = 0
      atau : 3x² + 5x + 3 = 0

  2. Menentukan persamaan kuadrat akar-akarnya 1/α +1 dan 1/β +1
      Dengan rumus jumlah dan hasilkali akar-akar:
      (1/α +1) + (1/β +1) = 1/α +1/β + 2
                                    = (α+β)/αβ + 2
                                    = 1/3 + 2 
                                    = 7/3
      (1/α +1)(1/β +1) =1/αβ + 1/α + 1/β + 1
                                  = (1+ (α + β) + αβ)/αβ
                                  = (1 + 1 + 3)/3
                                  = 5/3
      Pers.Kuadratnya adalah : x² - 7/3x + 5/3 = 0
      atau : 3x² - 7x + 5 = 0.