Question

1). Stosunek pola powierzchni bocznej stożka do jego pola podstawy jest równy √2:1. Objętość stożka jest równa objętości kuli o średnicy 6. Oblicz wysokość tego stożka.
2). Oblicz objętość stożka, którego pole podstawy jest równe 16, a pole powierzchni bocznej wynosi 20.

Answer 1

Pole powierzchni bocznej Pb
Pole powierzchni podstawy Pp
I) Stosunek pola powierzchni bocznej Pb stożka
do jego pola podstawy Pp jest równy Pb: Pp= √2:1,
stąd Pb= √2Pp
II) Pb= πrl, gdzie r to promień podstawy stożka, l to jego tworząca i Pp= πr²
Pb/Pp= (πrl)/(πr²)= l/r i Pb/Pp= √2, czyli l/r= √2 i l= r√2
III) Obliczamy objętość stożka:
a) najpierw wyznaczmy objętość kuli o średnicy d= 6,
promień kuli R= ½d= ½*6= 3
V= ⁴/₃πr³= ⁴/₃π*3³= ⁴/₃*27π= 36π
b) Objętość stożka jest równa V= 36π, więc:
V= ⅓πr²h= 36π, stąd ⅓r²h= 36, r²h= 108
IV) Korzystamy z tw. Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego
i układamy równanie: h²+ r²= l²
{przyprostokątne to wysokość stożka h i promień podstawy r,
przeciwprostokątna to tworząca l= r√2}
h²+ r²= (r√2)²
h²+ r²= 2r²
h²= 2r²- r²= r²
V)
Z IIIb) mamy; r²h= 108 i z IV) h²= r², więc
h²*h= 108, h³= 108, h=∛108= 3∛4 {108= 27*4= 3³*4}
Odp. Wysokość stożka jest równa 3∛4.

Zad.2
Pole podstawy stożka Pp= 16, Pp= πr²= 16,
stąd r²= 16/π, promień podstawy r= 4/(√π)
Pole powierzchni bocznej Pb= 20, Pb= πrl= 20
l= 20/(πr)= 20/[π*4/(√π)]= (20√π)/(4π)= (5√π)/π
Aby obliczyć wysokość stożka korzystamy z tw. Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego i mamy: h²+ r²= l²
{przyprostokątne to wysokość stożka h i promień podstawy
r= 4/(√π), przeciwprostokątna to tworząca l= (5√π)/π}
h²+ [4/(√π)]²= [(5√π)/π]²
h²+ 16/π= 25/π
h²= 25/π - 16/π= 9/π
h= 3/(√π)
Obliczamy objętość stożka:
V= ⅓πr²h= ⅓π*(16/π)*[3/(√π)]= 16/(√π)
Odp. Objętość stożka jest równa 16/(√π).