Question

1. Oblicz pole równoramiennego trójkąta prostokątnego, jeśli jego przeciwprostokątna jest o 1+pierwsiastek z 2 dłuższa od przyprostokątnej.

2. Oblicz pole trójkąta prostokątnego, w którym jeden z kątów ostrych jest dwukrotnie większy od drugiego kąta oraz obwód tego trójkąta jest równy 6+2 pierwiastek z 3

Answer 1

zad 1

1. Długość boków trójkąta:

-- Trójkąt jest równoramienny, czyli przyprostokątne są równe:

a=x

b=x

-- Przeciw prostokątną jest dłuższa od przyprostokątnych o 1+√2, czyli:

c=x+1+√2

-- Z tw. Pitagorasa:

a²+b²=c²

x²+x²=(x+1+√2)²

2x²=(x+1+√2)²  

2x²-(x+1+√2)=0

[x√2 - (x+1+√2)][x√2 + (x+1+√2)]=0

x√2 - x-1-√2=0  lub  x√2+x+1+√2=0

x(√2-1)=1+√2            x(√2+1)=-(1+√2)

---

I rozwiązaeni: x(√2-1)=1+√2

---

II rozwiązanie: x(√2+1)=-(1+√2) 

W wyniku dostaniemy, że x=-(3+2√2) - długość wychodzi ujemna. To rozwiązanie należy odrzucić (ponieważ długość jest wyrażana w liczbach rzeczywistych nieujemnych)

---

Boki trójkąta mają długość:

a=b=3+2√2

c=3+2√2+1+√2=4+3√2

-------------------

2. Pole trójkąta:

P=ab/2

P=x²/2

P=(3+2√2)²/2

P=[9+12√2+8]/2

P=[17+12√2]/2  [j²]

================================

zad 2

1. Ustalam miary kątów w trójkącie:

Trójkąt jest prostokątny, czyli suma kątów ostrych jest równa 90°, stąd:

[α, β=2α - z treści zadania]

α+β=90°

2α+α=90°

3α=90°

α=30°

Czyli miary kąty zadanego trójkąta to: 30°, 60°, 90°.

-------------------

2. Długość boków:

Dany trójkąt to połowa trójkąta równobocznego, czyli jego boki mają długość:

a=1/2 x

b=x√3/2

c=x

[a, b - przyprostokątne, c - przeciwprostokątna]

---

Czyli długości boków tego trójkąta to:

a=1/2 x=1/2 * 4=2

b=x√3/2=4√3/2=2√3

c=x=4

-------------------------

3. Pole trójkąta:

P=ab/2

P=2*2√3/2

P=2√3 [j²]