Question

Znaleźć odległość punktu P(1, -2, 5) od prostej

Answer 1

Przekształcamy równanie prostej l:

Zatem dowolny punkt M tej prostej zapisujemy:


Uzyskujemy stąd:
 - postać dowolnego punktu M prostej  
 - równanie parametryczne wektorowe prostej  l :  , 
z którego odczytujemy  wektor  wyznaczający kierunek prostej

Odległość punktu P od prostej l to odległość P od najbliższego punktu M tej prostej. 
Oznacza to, że wektor MP będzie prostopadły do prostej l, a tym samym
do jej wektora kierunkowego 

Wyznaczamy współrzędne wektora MP, gdzie  , :
 
Wektor ten ma być prostopadły do prostej l, czyli do wektora 
Oznacza to, że iloczyn skalarny wektorów MP i  ma być równy 0, skąd otrzymujemy równanie:


skąd obliczamy  
Podstawiamy do wzoru na wektor MP:
 

Odległość d punktu P od prostej l to odległość P od punktu M, czyli długość wektora MP:


Dalej to już kalkulator...

Answer 2

Zamienie rownanie krawedziowe na parametryczna
u=u1 x u2
u1=[1,  2 , 0]
u2=[0 , 0 , 2]
u=[ 4, 2, 0]   rownolegly do prostej [ prozstpadly do osi z]
jeden punkt na prostej krawedziowej np xo=0  yo=0 zo=-2
Po(0,0,-2)  spelnia obie plasczyzna wiec nalezy do krawedzi
Policze wektor PoP=[1,-2,7]
d=|PoP|*sinα  gdzie α kat pomiedzy PoP  i u

sinα=|PoP x u| /( |PoP*u|)
latwiej policzyc cosα =|PoP ● u| /( |PoP|*|u|)
PoP ● u=4-4=0  wektory prostpadle
wiec d=|PoP|=√54=3√6