Stosując kryterium porównawcze, zbadać zbieżność szeregu: Podpowiedź: Wolfram|Alpha mówi, że ten sze.... Question from @Girl95

NiedzielnyMatematyk Mamy dany szereg $\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt[3]{n} - \sqrt{n} } = \sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{ \frac{4}{3} } - n^{ \frac{1}{2} } }$ . Zaproponuję dwa rozwiązania:

1. Nieoptymalnie, ale zgodnie z poleceniem - kryterium porównawcze.
Oczywiście $0\leq\frac{1}{n \sqrt[3]{n} - \sqrt{n} }$ - wystarczy sprawdzić, że:
$n \sqrt[3]{n} - \sqrt{n} \ \textgreater \ 0 \quad\Leftrightarrow\quad n \sqrt[3]{n} \ \textgreater \ \sqrt{n} \quad\Leftrightarrow\quad n^6\cdot n^2 \ \textgreater \ n^3 \quad\Leftrightarrow\quad n^5 \ \textgreater \ 1$
W naszym przypadku to zachodzi dla każdego $n$ - rozpatrujemy liczby naturalne bez jedynki. Zajmujemy się mianownikiem tego ułamka, więc oczywiście musi być on różny od zera - stąd ostra nierówność.
Teraz musimy wymyślić dobre oszacowanie z drugiej strony. Szereg o wyrazie $\frac{1}{n^2}$ jest zbyt brutalnym oszacowaniem, które nie prowadzi do celu. Nawet $\frac{1}{n^\frac{4}{3}}$ nie jest dobre. Pasowałaby $\frac{1}{n}$ , tyle że szereg o tych wyrazach jest rozbieżny. Stąd wniosek, że musimy wziąć coś bardzo zbliżonego do $\frac{1}{n}$ - na szczęście wiemy, że szereg $\sum\frac{1}{n^\zeta}$ jest zbieżny dla wszystkich $\zeta \ \textgreater \ 1$ . Więc możemy wziąć $\frac{1}{n^ \frac{7}{6} }$ - pewnie szeregi o wyrazach typu $\frac{1}{n^ \frac{11}{10} }$ albo $\frac{1}{n^ \frac{1001}{1000} }$ też by pasowały.
Mamy:
$\frac{1}{n^{ \frac{4}{3}} - n^{ \frac{1}{2}}} \leq \frac{1}{n^ \frac{7}{6} } \quad \Leftrightarrow\quad
1 \leq \frac{n^{ \frac{4}{3} } - n^{ \frac{1}{2} }}{n^ \frac{7}{6} } \quad\Leftrightarrow\quad 
1 \leq n^{ \frac{4}{3} - \frac{7}{6} } - n^{ \frac{1}{2} - \frac{7}{6} } \quad\Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow\quad 1 \leq n^{ \frac{8}{6} - \frac{7}{6} } - n^{ \frac{3}{6} - \frac{7}{6} } \quad\Leftrightarrow\quad 1 \leq n^{ \frac{1}{6} } - n^{ -\frac{2}{3} }= \sqrt[6]{n} - \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}$
Granicą prawej strony jest $+\infty - 0 = +\infty$ , więc nierówność spełniona jest dla dostatecznie dużych $n$ - tak naprawdę nierówność zachodzi dla $n\geq 6$ .
Ostatecznie mamy:
$0 \leq \frac{1}{n \sqrt[3]{n} - \sqrt{n} } \leq \frac{1}{n^ \frac{7}{6} }$
Ale $\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^ \frac{7}{6} }$ jest zbieżny. Zatem na mocy kryterium porównawczego zbieżny jest również $\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt[3]{n} - \sqrt{n} }$ . $\blacksquare$

2. Sprawnie - przez kryterium asymptotyczne.
Można zauważyć, że $\frac{1}{n \sqrt[3]{n} - \sqrt{n} } = \frac{1}{n^{ \frac{4}{3} } - n^{ \frac{1}{2} } }$ "zachowuje się mniej więcej tak", jak $\frac{1}{n^{ \frac{4}{3} }}$ - wydaje się, że dla dużych $n$ ten odejmowany w mianowniku pierwiastek będzie "mały" w porównaniu z pierwszym wyrażeniem.
Wiemy, że $\frac{1}{n^{ \frac{4}{3} } - n^{ \frac{1}{2} } } \ \textgreater \ 0$ , oczywiście również $\frac{1}{n^{ \frac{4}{3} }}\ \textgreater \ 0$ .
Mamy, że:
$\frac{\frac{1}{n^{ \frac{4}{3} } - n^{ \frac{1}{2} } }}{\frac{1}{n^{ \frac{4}{3} }}} = \frac{n^{\frac{4}{3}}}{n^{ \frac{4}{3} } - n^{ \frac{1}{2} } }} = \frac{n^{\frac{4}{3}}}{n^{ \frac{4}{3} } \big(1- n^{ \frac{1}{2} - \frac{4}{3} }\big) }} = \frac{1}{1-n^{- \frac{5}{6} }} = \frac{1}{1- \frac{1}{\sqrt[6]{n^5}} }$
Oczywiście $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{1- \frac{1}{\sqrt[6]{n^5}} } = \frac{1}{1-0} = 1$
Zatem ze zbieżności $\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{ \frac{4}{3} }}$ wynika zbieżność $\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt[3]{n} - \sqrt{n} }$ . $\blacksquare$

Na tym przykładzie widać, że zwykłe kryterium porównawcze jest dość niewygodne, jeśli nie wiadomo od razu, z czym należy porównywać. Kryterium asymptotyczne zazwyczaj jest łatwiejsze do zastosowania.

1 votes Thanks 1

HaGa55 Można na przykład tak:
Dla $n \geq 2$
$\sqrt{n} \ \textless \ n$
$- \sqrt{n} \ \textgreater \ -n$
$n \sqrt[3]{n} - \sqrt{n} \ \textgreater \ n \sqrt[3]{n} -n$
$n \sqrt[3]{n} - \sqrt{n} \ \textgreater \ n( \sqrt[3]{n} -1)$
$n \sqrt[3]{n} - \sqrt{n} \ \textgreater \ \frac{1}{2}n ( \sqrt[3]{n} +( \sqrt[3]{n} -2))$

Jeśli $n \geq 8$ , to $\sqrt[2]{n} \geq 2$ , czyli $\sqrt[3]{n} -2 \geq 0$

Wobec tego dla $n \geq 8$
$0\ \textgreater \ n \sqrt[3]{n} - \sqrt{n} \ \textgreater \ \frac{1}{2} n \sqrt[3]{n} = \frac{1}{2} n^{ \frac{4}{3} }$
skąd otrzymujemy
$\frac{1}{n \sqrt[3]{n}- \sqrt{n} } \ \textless \ \frac{2}{ n^{ \frac{4}{3} } }$

Szereg o wyrazach $\frac{2}{ n^{ \frac{4}{3} } }$ jest zbieżny (bo $\frac{4}{3} \ \textgreater \ 1$ )
wyrazy podanego szeregu, począwszy od ósmego, są od nich mniejsze (i dodatnie),
co dowodzi zbieżności danego szeregu

1 votes Thanks 1

Rozłożyć w szereg trygonometryczny Fouriera funkcję f(x) = x w przedziale [-π, π]. Wystarczy mi sam algorytm postępowania, całki ogarnę sama ;)

Znaleźć odległość punktu P(1, -2, 5) od prostej

Przez punkt A (1, -1, 1) poprowadzić płaszczyznę prostopadłą do płaszczyzn: (1): x-y+z-1 = 0 oraz (2): 2x+y+z+1 = 0.

Określić znak permutacji: + wytłumaczenie ;)

Mamy szereg: Czy jest on zbieżny bezwzględnie, zbieżny warunkowo, czy rozbieżny?

Zbadaj zbieżność szeregu:

Pytanie dotyczące C++: Microsoft Visual Studio 2010. Załóżmy, że mam już napisany kod programu (który się nawet kompiluje) w projekcie. Jak teraz zapisać to w .exe? (chcę żeby ten program mi się otworzył jako program ;) )

C++: Muszę przy pomocy funkcji bool (chyba) od użytkownika "programu" uzyskać informację o jego płci. Kobieta - 1, mężczyzna - 0. Jak to zrobić?

Jaką pracę trzeba wykonać, aby ciało o masie m przenieść ruchem jednostajnym ze środka planety o średniej gęstości d i promieniu R do nieskończoności.

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social