Mamy szereg: Czy jest on zbieżny bezwzględnie, zbieżny warunkowo, czy rozbieżny?.... Question from @Girl95

December 2018 1 173 Report

Mamy szereg:
$\Sigma^\infty_{n=1}\frac{tg (\frac{n \pi}{3})}{n}$
Czy jest on zbieżny bezwzględnie, zbieżny warunkowo, czy rozbieżny?

Paawełek Wykażę że jest rozbieżny gdy nałożymy wartość bezwzględną. Zauważ że:
|tg pi/3 |= pierwiastek z 3
|tg 2/3 pi| = pierwiastek z 3
|tg 3/3 pi| = 0
|tg 4/3 pi| = pierwiastek z 3
|tg 5/3 pi| = pierwiastek z 3
|tg 6/3 pi| = 0
itd . . . tak się kształtuje licznik. Zatem:
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left| \dfrac{\tan (\frac{n\pi}{3})}{n}\right|= \dfrac{\sqrt{3}}{1}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{5}+\dfrac{\sqrt{3}}{7}+\dfrac{\sqrt{3}}{8}+...= \\ \\ = \dfrac{\sqrt{3}}{1} + \dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{7} + ... + \dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{5}+\dfrac{\sqrt{3}}{8}+... = \\ \\ \\ = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{\sqrt{3}}{3n+1}+ \sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{\sqrt{3}}{3n+2}$

Oba szeregi są rozbieżne zatem ich suma również jest rozbieżna. (kryterium porównawcza, 1/(3n+1) > 1/(4n) )

Teraz udowodniam że sam szereg jest zbieżny

Zacznę od podstawowego wzoru granic:
$\lim\limits_{n\to 0} \dfrac{\tan n}{n}=1\\ \\ \hbox{Poniewaz} \ \ \ \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{1}{n}= 0 \ \hbox{to rowniez:} \\ \\ \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\tan \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} =1 \\ \\ \hbox{Z deefinicji granicy mamy:} \\ \\ |u_n -g| < \epsilon \\ \hbox{Gdzie} \ \ u_n=\dfrac{\tan \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} \ \ \hbox{a g=1 , jest to granica. Stad mamy:}$

$\left| \dfrac{\tan \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}-1\right| < \epsilon \\ \\ -\epsilon < \dfrac{\tan \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} -1 < \epsilon \qquad /+1 \\ \\ 1-\epsilon < \dfrac{\tan \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} < 1+\epsilon \\ \\ \hbox{Niech} \ \ \epsilon=\dfrac{1}{2}: \\ \\ \dfrac{\tan\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}<\dfrac{3}{2} \qquad /\cdot \frac{1}{n} \\ \\ \tan \frac{1}{n} < \dfrac{3}{2n} \qquad /:n \\ \\ \dfrac{\tan \frac{1}{n}}{n} < \dfrac{3}{2n^2}$

Po lewej stronie mam Twój szereg, po prawej - zbieżny szereg harmoniczny, więć szereg an jest zbieżny, natomiast szereg |an| rozbieżny

To wskazuje że Twój szereg jest zbieżny warunkowo.

1 votes Thanks 1

Rozłożyć w szereg trygonometryczny Fouriera funkcję f(x) = x w przedziale [-π, π]. Wystarczy mi sam algorytm postępowania, całki ogarnę sama ;)

Answer

Girl95 January 2019 | 0 Replies

Kolejne pytanie dotyczące C++, konkretnie chodzi mi o pętlę for. Czym różni się (proszę najlepiej o jakiś konkretny przykład) i++ od ++i. Napisałam sobie bardzo prosty programik, który liczy mi sumę liczb od 1 do n: #include using namespace std; int main() { int n; cin >> n; int suma = 0; for (int i = 1; i <= n; ++i) { suma = suma+i; } cout << suma<< endl; system ("pause"); return 0; } i czy w tej pętli napiszę i++ czy ++i, to dla n=5 wychodzi mi ten sam wynik. Więc o co tyle hałasu z tym i++ i ++i?

Answer

Girl95 December 2018 | 0 Replies

Pytanie dotyczące C++: Microsoft Visual Studio 2010. Załóżmy, że mam już napisany kod programu (który się nawet kompiluje) w projekcie. Jak teraz zapisać to w .exe? (chcę żeby ten program mi się otworzył jako program ;) )

Answer

Girl95 December 2018 | 0 Replies

C++: Muszę przy pomocy funkcji bool (chyba) od użytkownika "programu" uzyskać informację o jego płci. Kobieta - 1, mężczyzna - 0. Jak to zrobić?

Answer

girl95 October 2018 | 0 Replies

Jaką pracę trzeba wykonać, aby ciało o masie m przenieść ruchem jednostajnym ze środka planety o średniej gęstości d i promieniu R do nieskończoności.

Answer

Rozłożyć w szereg trygonometryczny Fouriera funkcję f(x) = x w przedziale [-π, π]. Wystarczy mi sam algorytm postępowania, całki ogarnę sama ;)

Znaleźć odległość punktu P(1, -2, 5) od prostej

Przez punkt A (1, -1, 1) poprowadzić płaszczyznę prostopadłą do płaszczyzn: (1): x-y+z-1 = 0 oraz (2): 2x+y+z+1 = 0.

Określić znak permutacji: + wytłumaczenie ;)

Stosując kryterium porównawcze, zbadać zbieżność szeregu: Podpowiedź: Wolfram|Alpha mówi, że ten szereg jest zbieżny ;)

Zbadaj zbieżność szeregu:

Pytanie dotyczące C++: Microsoft Visual Studio 2010. Załóżmy, że mam już napisany kod programu (który się nawet kompiluje) w projekcie. Jak teraz zapisać to w .exe? (chcę żeby ten program mi się otworzył jako program ;) )

C++: Muszę przy pomocy funkcji bool (chyba) od użytkownika "programu" uzyskać informację o jego płci. Kobieta - 1, mężczyzna - 0. Jak to zrobić?

Jaką pracę trzeba wykonać, aby ciało o masie m przenieść ruchem jednostajnym ze środka planety o średniej gęstości d i promieniu R do nieskończoności.

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social