Question

Znalazłam tu rozwiązanie mojej pracy domowej:

Wyznacz równanie paraboli wiedząc że przecina ona osie układu współrzędnych w punktach A, B, C.
y = ax² + bx + c
A = (0;3), B = (1; 0), C = (3; 0)

3 = a*0² +b*0 + c ---> c= 3
0 =a*1² +b*1 + c ---> a+b + c = 0
0 = a*3² +b*3 + c ---> 9a + 3b + c = 0
Wstawiamy za c liczbę 3 do II oraz III równania i otrzymujemy
a + b + 3 = 0
9a + 3b + 3 = 0
-----------------
3a +3b + 9 = 0
9a + 3b + 3 = 0
-------------------
6a - 6 = 0
6a = 6
a = 1
---------
b = -a -3 = -1 - 3 = -4
mamy:
a =1, b = -4, c =3
Odp. y = x² -4x + 3

Nie rozumiem skąd się wzięło:
3a +3b + 9 = 0
9a + 3b + 3 = 0
wytłumaczy mi ktoś?
dzięki z góry. na jutro rano , bardzo rano... 5:30-6:30

i prosiłabym o zrobienie mi zadania na tej samej zasadzie tylko z punktami:
A = (0;6), B = (-6; 0), C = (2; 0)

Answer 1

Równanie ogólne paraboli: y=ax²+bx+c
należy wyznaczyć stałe: a, b i c.
Z każdego punktu mamy dane x i y, które podstawiamy do równania ogólnego paraboli. Otrzymamy układ 3 równań z niewiadomymi a, b i c.
Wobec tego do pracy:
A = (0;6),
x=0, y=6
pamietamy, że y=ax²+bx+c więc po podstawieniu mamy pierwsze równanie:

6=a*0²+b*0+c
c=6

B = (-6; 0)
x=-6, y=0
0=a*(-6)²+b*(-6)+c
0=36a-6b+c
można od razu podstawić c=6, ale po malutku

C = (2; 0)
x=2, y=0
0=a*2²+b*2+c
0=4a+2b+c

mamy układ trzech równań z trzech punktów:

c=6
0=36a-6b+c
0=4a+2b+c

podstawiamy pierwsze równanie do dwóch pozostałych i mamy:

36a-6b+6=0 /:6 (obie strony dzielę przez 6)
4a+2b+6=0 /:2 (obie strony dzielę przez 2)

6a-b+1=0
2a+b+3=0

6a-b=-1
2a+b=-3

do pierwszego równania dodaję drugie równanie ("pozbywam się" b):
6a+2a-b+b=-1-3
8a=-4 /:8
a=-⁴/₈=-½
a=-½

obliczam b podstawiając obliczone: c=6 i a=-½ podstawiając do
jednego z równań, np.:
2a+b=-3
2*(-½)+b=-3
-1+b=-3
b=-2

wobec powyższych obliczeń równanie szukanej paraboli ma postać:
y=-½x²-2x+6

Answer 2

W tym pierwszym zadaniu 3a+3b+9=0 wzięło się z pomnożenia obu stron równania a+b+3=0 przez liczbę 3 aby uzyskać taki sam współczynnik przy b. Lecz to równanie powinno być pomnożone przez (-3) i byśmy otrzymali -3a-3b-9=0 i dopiero możemy zastosować metodę przeciwnych współczynników.

zad. 2
A=(0,6) B=(-6,0) C=(2,0)
6=a*0²+b*0+c---->c=6
0=a*(-6)²+b*(-6)+c------> 36a-6b+c=0
0=a*2²+b*2+c------> 4a+2b+c=0

Wstawiamy za c liczbę 6 do II oraz III równania i otrzymujemy:
36a-6b+6=0 /:6 ---dzielimy obie strony przez 6
4a+2b+6=0 /:2 ---dzielimy obie strony przez 2

6a-b+1=0
2a+b+3=0
---------------------
8a+4=0
8a=-4 /:8 ---dzielimy obie strony przez 8
a=-½
podstawiamy do najprostrzego równania za a=-½
2a+b+3=0
2*(-½)+b+3=0
-1+b+3=0
b=1-3
b=-2


a=-½
b=-2
c=6
wobec tego równanie paraboli wygląda tak: y=-½x²-2x+6