Question

Znajdź równania stycznych do okręgu x^2+y^2-8y+12=0 przechodzących przez początek układu współrzędnych . Znajdź równania obrazów tego okręgu i jednej z wyznaczonych stycznych w jednokładności o środku w punkcie S=(1,2) i skali k=-3.

x^2-to x kwadrat

y^2-to y kwadrat

Answer 1

x^2 + y^2 -8y + 12 = 0

(x -0)^2 + (y - 4)^2 - 16 +12 = 0

(x - 0)^2 + (y - 4)^2 = 4

zatem

S = (0; 4)  oraz  r = 2

Niech O = (0; 0) oraz P = (x;y)

P <-- punkt styczności z okręgiem prostej OP

Trójkąt OPS jest prostokątny, bo prosta SP jest prostopadła do pr. Op

Mamy zatem

I OP I^2 = I OS I^2 - I SP I^2 = 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12 = 4*3

zatem  I OP I = 2 p(3)

ale  I OP I^2 = [x - 0]^2 + [y - 0]^2 = x^2 + y^2

zatem  x^2 + y^2 =  12  --->  x^2 = 12 - y^2

---------------------------

oraz  I SP I^2 = [x -0]^2 + [y - 4]^2 = x^2 + y^2 -8y + 16

zatem x^2 + y^2 -8y + 16 = r^2 = 4

Po podstawieniu za x^2   otrzymamy

12 - y^2 +y^2 -8y + 16 = 4

-8y = -24

y = 3

=====

x^2 = 12 - y^2 = 12 - 3^2 = 12 - 9 = 3

zatem  x1 = - p(3)   oraz   x2 =  p(3)

Mamy 2 punkty styczności"

P1 = ( -p(3); 3)  oraz P2 = ( p(3); 3)

Równania prostych stycznych do okręgu

Prosta OP2:

y = ax + b

0 = a*0 + b  --> b = 0

3 = a*p(3) + 0 --> a = 3 : p(3) = p(3)

y = p(3) *x

==============

Prosta OP1

y = ax + b

0 = a*0 + b --> b = 0

3 = a*( -p(3)) + 0 ----> a = 3 : ( -p(3)) = - p(3)

y =  - p(3)*x

==============

=============================================

Jednokładność o środku  ( 1; 2)  i  skali  k = - 3

Mamy

x' = k*x + (1 - k)*a

y' = k*y = (1 -k)*b, gdzie  k = -3   oraz  (a; b) = (1; 2)

Szukamy obrazu srodka danego okręgu w tej jednokładności

zatem  x = 0 oraz y  = 4

czyli

x' = -3*0 + ( 1 -(-3)) *1 = 4

y' = -3*4 + (1 -(-3)) *2 = -12 + 8 = -4

Okrag jednokładny do danego ma środek w punkcjie ( 4; - 4)

Okrąg ten ma promień o długości  I k I *r = 3*2 = 6

Równanie okręgu jednokładnego do danego ma równanie

(x -4)^2 + (y + 4)^2 = 36

=========================

Szukamy teraz obrazu prostej OP w tej jednokładności:

Mamy punkty : (0; 0)  oraz P2 = ( p(3) ; 3)

Obrazy tych punktów:

x' = -3*0 + (1- (-3)*1 = 4

y' = -3*0 + (1 -(-3)) * 2 = 8

czyli O' = ( 4; 8)

-----------------------------------

x' = -3*p(3) + (1 -(-3))*1 = 4 - 3 p(3)

y' = -3*3 + (1 -(-3)) *2 = -9 + 8 = - 1

czyli P2 ' = (4 - 3 p(3);  -1 )

prosta O' P2'

y = ax + b

8 = 4a + b

-1 = [4 - 3 p(3)]a + b

--------------------------- odejmujemy stronami

8 -(-1) = 4a - [ 4 - 3 p(3)] a

9 = 4a - 4a + 3 p(3) a

3 p(3) a = 9 / : 3 p(3)

a = p(3)

=======

b = 8 - 4a = 8 -4*p(3)

=========================

y = p(3)* x +  8  - 4*p(3)

=========================================