Question

Ze stalowego stożka o promieniu podstawy R i wysokości H wytoczono walec w taki sposób, że jedna z podstaw walca jest zawarta w podstawie stożka, a odpady mają najmniejszą możliwą objętość. Wyznacz promień podstawy i wysokość walca.

Answer 1

Dane R,H
OBL  r,h  aby ΔV=Vst-Vwalca=minimum
H/R=h/(R-r)
h=H/R*(R-r)
ΔV=1/3πR²H-πr²h=1/3πR²H-πr²·H/R*(R-r)
ΔV(r)=1/3πR²H-πr²·H/R*(R-r)=1/3πR²H-πH/R*r²/(R-r)
ΔV'=-πH/R[2r(R-r)+r²]/(R-r)²
warune extr ΔV'=0⇒-2r²+r²+2Rr=0
-r²+2Rr=0    parabola ramiona w dol
r(2R-r)=0  r1=0  r2=R/2
dla r2=R/2 zmiana znaku pochodnei z minus na plus wiec minimum
h=H/R*(R-r)=h=H/R*(R/2)=H/2
ODP  r=R/2  h=H/2

Pozdr

Hans