Question

Zadanie 1

Spodek wysokości ostrosłupa (A) leży w wierzchołku podstawy, spodek wysokości ostrosłupa (B) leży w połowie najdłuższej krawędzi podstawy. Oblicz długości krawędzi bocznych obu ostrosłupów.

ps. Odpowiedź to :W ostrosłupie (A) pierwiastek z 41, pierwiastek z 41 oraz zwykła 5. W ostrosłupie (B) wszystkie mają długośc pierwiastek z 33

Zadanie 2

Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest 4 razy większe od pola podstawy. Krawędź podstawy ma długośc 6. Oblicz objętośc tego ostrosłupa.

ps. Odpowiedź to 36 pierwiastek z 15

Answer 1

Zadanie 1.

S - spodek wysokości ostrosłupa

Ostrosłup A.

a - długość przyprostokątnych podstawy ostrosłupa
H - wysokość ostrosłupa

Wysokość ostrosłupa jest zarazem jedną z jego krawędzi bocznych. Pozostałe dwie krawędzie ostrosłupa są sobie równe i oznaczę je sobie jako D. Łączna ilość krawędzi bocznych jest równa 3.

D - długość dwóch pozostałych krawędzi ostrosłupa

Aby obliczyć długość krawędzi D, korzystam po prostu z twierdzenia Pitagorasa. Zapisane matematycznie, mówi nam ono o tym, że:

D = √(a² + H²)

Wszystkie dane znamy, więc podstawiamy po prostu do wzoru :)

D = √(4² + 5²)
D = √(16 + 25)
D = √(41)

Tak więc, w ostrosłupie A krawędzie boczne mają długości: √41, √41 oraz 5.

Ostrosłup B.

a - długość przyprostokątnych podstawy ostrosłupa
d₁ - długość przeciwprostokątnej podstawy ostrosłupa
H - wysokość ostrosłupa

W tym ostrosłupie, wysokość nie jest już żadną z krawędzi bocznych. Musimy wyznaczyć sobie długość przeciwprostokątnej podstawy ostrosłupa, aby móc kontynuować dalsze obliczenia. Wartość d obliczam, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

d₁ = √(a² + a²)
d₁ = √(2a²)
d₁ = √(2 × 4²)
d₁ = √(2 × 16)
d₁ = 4√2

Znając przeciwprostokątną trójkąta, będącego podstawą, możemy określić położenie spodka wysokości ostrosłupa. Wiedząc z treści zadania, że znajduje się on w połowie długości przeciwprostokątnej trójkąta, będącego podstawą, dzielimy ją na pół:

½d₁ = ½ × (4√2) = 2√2

Skoro spodek wysokości tego ostrosłupa zawiera się w połowie długości jednej z krawędzi podstawy, a wysokość jest ustawiona prostopadle do podstawy, wiemy, że przynajmniej dwie krawędzie boczne są sobie równe.

Obliczmy teraz odległość (d₂) od spodka wysokości ostrosłupa do punktu, z którego wychodzi trzecia krawędź boczna ostrosłupa. Aby ją obliczyć, również skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

d₂ = √(a² - (½d₁)²)
d₂ = √(4² - (2√2)²)
d₂ = √(16 - (4 × 2))
d₂ = √(16 - 8)
d₂ = √(8)
d₂ = √(2 × 4)
d₂ = 2√2

Dochodzimy do wniosku, że:

½d₁ = d₂, czyli wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa będą sobie równe. Skoro tak, to teraz odległości od spodka wysokości ostrosłupa do punktów, z których wychodzą poszczególne krawędzie boczne ostrosłupa, mogę z czystym sumieniem oznaczyć sobie po prostu jako samo d.

½d₁ = d₂ = d

W takim razie znów korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i obliczamy długość krawędzi bocznej ostrosłupa (D):

D = √(H² + d²)
D = √(5² + (2√2)²)
D = √(25 + (4 × 2))
D = √(25 + 8)
D = √33

Tak więc, w ostrosłupie B, każda krawędź boczna ma identyczną długość, równą √33.

Zadanie 2.

Pb - pole powierzchni bocznej
Pp - pole podstawy
a - długość krawędzi podstawy
V - objętość

Pb = 4 × Pp
a = 6

Pp w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym jest równe:

Pp = a², zatem:

Pp = a² = 6² = 36

Pb w tym ostrosłupie jest czterokrotnie większe, niż Pp, zatem:

Pb = 4 × Pp = 4 × 36 = 144

Ale ostrosłup prawidłowy czworokątny składa się z czterech identycznych ścian bocznych, w związku z czym pole jednej takiej ściany (Pś) wynosi:

Pś = ¼Pb
Pś = ¼ × 144
Pś = 36

Wzór na pole ściany bocznej ostrosłupa wygląda tak:

Pś = ½a × h

Znając go, obliczymy wysokość jednej ściany bocznej (h) tego ostrosłupa, która jest nam potrzebna do obliczenia wysokości całego ostrosłupa (H), która z kolei potrzebna nam jest do obliczenia jego objętości:

Tak wyglądają kolejne etapy przekształcenia wzoru w celu obliczenia wysokości ściany bocznej (h):

Pś = ½a × h |:h
Pś/h = ½a |:Pś
1/h = (½ × a)/Pś
h = Pś/(½ × a) | × 2
h = (2 × Pś)/a

Podstawiamy dane do wzoru i obliczamy:

h = (2 × Pś)/a
h = (2 × 36)/6
h = 2 × 6
h = 12

Znając h, możemy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa w celu obliczenia H:

H = √(h² - (½a)²)

½a, ponieważ wiemy, że spodek wysokości ostrosłupa prawidłowego czworokątnego zawiera się w punkcie, będącym środkiem koła wpisanego w jego podstawę.

Podstawiamy dane do wzoru:

H = √(h² - (½a)²)
H = √(12² - (½ × 6)²)
H = √(12² - 3²)
H = √(144 - 9)
H = √(135)

Znamy już wszystkie, potrzebne nam do obliczenia objętości ostrosłupa dane, w związku z czym możemu ją teraz obliczyć. Wzór na objętość każdej figury ostro zakończonej wygląda tak:

V = ⅓Pp × H

Po podstawieniu danych wygląda on tak:

V = ⅓ × 36 × √(135)

Rozwiązanie:

V = ⅓ × 36 × √(135)
V = 12 × √(135)
V = 12√135
V = 12√(5 × 45)
V = 12√(5 × 5 × 9)
V = 12√(25 × 9)
V = 12 × 5 × 3
V = 180

Jak na moje oko, w drugim zadaniu wynikiem nie może być 36√15. Sprawdź, czy na pewno podałeś dobrą odpowiedź z podręcznika :)

Pozdrawiam! :)