Question

Zadania z ciągów.

Zadanie 1: Zbadaj, który ciąg jest ciągiem arytmetycznym.

a) 2,3,6,8,...

b) -3,-1,1,3,5,....

c) an=3n+5

Zadanie 2:

Wyznacz x, tak aby liczby x+2, 3x-1, 4x-1 były kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego

Zadanie 3:

Wyznacz wzór ogólny ciągu arytmetycznego, w którym b₂=5 i b₄= -1

Zadanie 4:

Wyznacz ciąg arytmetyczny, jeśli a₂+a₄= 8 i = 6

Answer 1

Własność ciągu arytmetycznego:

Wzór na an-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

=============================

zad 1

a) 2,3,6,8,...

a₁=2

a₂=3

a₃=6

a₂-a₁=a₃-a₂

3-2=6-2

1≠4

Ciąg nie jest arytmetyczny.

---------------------------------------------------------

b) -3,-1,1,3,5,....

a₁=-3

a₂=-1

a₃=1

a₂-a₁=a₃-a₂

-1-(-3)=1-(-1)

-1+3=1+1

2=2

Ciąg jest arytmetyczny.

---------------------------------------------------------

c) an=3n+5

a(n-1)=3(n-1)+5=3n-3+5=3n+2

a(n+1)=3(n+1)+5=3n+3+5=3n+8

 

an-a(n-1)=a(n+1)-an

3n+5-(3n+2)=3n+8-(3n+5)

3n+5-3n-2=3n+8-3n-5

3=3

Ciąg jest arytmetyczny

=============================

zad 2

a(n-1)=x+2

an=3x-1

a(n+1)=4x-1

 

an-a(n-1)=a(n+1)-an

3x-1-(x+2)=4x-1-(3x-1)

3x-1-x-2=4x-1-3x+1

2x-3=x

x=3

 

Ciąg ma postać (5, 8, 11).

=============================

zad 3

{b₂=5

{b₄=-1

---

{b₁+r=5

{b₁+3r=-1

---

{b₁=5-r

{5-r+3r=-1

---

{b₁=5-r

{2r=-6

---

{b₁=5-r

{r=-3

---

{b₁=5-(-3)

{r=-3

---

{b₁=8

{r=-3

Wzór ogólny ciągu:

bn=b₁+(n-1)r

bn=8+(n-1)*(-3)

bn=8-3n+3

bn=11-3n

=============================

zad 4

{a₂+a₄=8

{a₁/a₂=6

---

{(a₁+r)+(a₁+3r)=8

{a₁=6*(a₁+r)

---

{2a₁+4r=8

{a₁=6a₁+6r

---

{a₁+2r=4

{-5a₁=6r

---

{a₁=4-2r

{-5*(4-2r)=6r

---

{a₁=4-2r

{-20+10r=6r

---

{a₁=4-2r

{4r=20

---

{a₁=4-2r

{r=5

---

{a₁=4-2*5

{r=5

---

{a₁=-6

{r=5

Wzór ogólny ciągu:

an=a₁+(n-1)r

an=-6+(n-1)*5

an=-6+5n-5

an=5n-11