Zadanie 1:Oblicz objętosć prostopadłościanu, którego pole powierzchni całkowitej jest rowne 94cm^{2}.... Question from @rel

November 2018 1 119 Report

Zadanie 1:

Oblicz objętosć prostopadłościanu, którego pole powierzchni całkowitej jest rowne 94cm^{2}, a długości krawędzi są kolejnymi liczbami całkowitymi.

Zadanie 2: Podstawą graniastosłupa jest romb o boku długości $\sqrt{10}$ i krótszej przekątnej równej 2 cm. Króstsza przekątna graniastosłupa jest równa 4cm. Oblicz objętność tego graniastosłupa.

Zadanie 3: Oblicz długość przekątnej sześcianu, którego objętość wynosi 343cm^{3}

Zadanie 4: Sześcian o przekątnej długości 12 cm rozcięto na dwa przystające graniastosłupy trójkątne. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość otrzymanego graniastosłupa trójkątnego.

Zadanie 5: Pola powierzchni trzech różnych ścian prostopadłościanu są odpowiednio równe P1,P2 i P3. Oblicz objętość tego prostopadłościanu.

Zadanie 6: Oblicz długość krawędzi sześcianu, którego objętość jest równa sumie objętości trzech sześcianów o krawędziach 4dm, 6dm, 8 dm.

kamas248 1.
$P_{pc} = 94 \\
V = ? \\
$
Oznaczamy kolejne krawędzie jako a, a+1, a+2 i układamy równanie wstawiając to do wzoru na pole powierzchni całkowitej:
$2a(a+1)+2a(a+2) + 2(a+1)(a+2) = 94 \\
3a^{2} + 6a + 2 = 47 \\
 a^{2} + 2a -15 = 0$

Powstało równanie kwadratowe, liczymy rozwiązania:
$\Delta = 64 \\
 a_{1} = 3 \vee a_{2} = -5$
a2 jest sprzeczne z założeniami więc długości krawędzi wynoszą 3, 4, 5 i Objętość:
V = 3*4*5 = 60 [cm^3]

2. Z twierdzenia pitagorsa określonego na przekroju w którym zawiera się przekątna graniastosłupa liczymy jego wysokość h:
$h^{2} = 16-4 \\
h = 2 \sqrt{3}$
Następnie obliczamy pole podstawy graniastosłupa. Mamy długość krótszej przekątnej, więc wykorzystując na przykład fakt że przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą sie na połowy liczmy z znów z twierdzenia pitagorasa długość dłuższej przekątnej podstawy:
$\frac{1}{4} d_{2} ^{2} = 9 \\
 \frac{1}{2} d_{2} = 3 \\
d_{2} = 6$
Teraz liczmy pole podstawy i objętość:
$P_{p} = 0,5 * 2*6 = 6 \\
V = 6* 2\sqrt{3} = 12 \sqrt{3}$

3. Z twierdzenia pitagorasa opisanego na przekroju sześcianu wynika wzór na przekątną sześcianu: $d = a \sqrt{3} 
$
Obliczamy długość krawędzi a i wstawiamy do wzoru:
$a^{3} = 343 \\
a = 7\\
d = 7 \sqrt{3}$

4.Obliczamy najpierw długość krawędzi a sześcianu ze wzoru na jego przekątną:
$a \sqrt{3} = 12 \\
a = 4 \sqrt{3}$

Po rozcięciu sześcianu w ten sposób, składowy graniastosłup trójkątny będzie miał podstawę będącą trójkątem prostokątnym o dwóch bokach długości a i jednym długości przekątnej podstawy sześcianu czyli $a \sqrt{2}$
Pozostaje podstawić wartości do wzorów na pole całkowite i objętość:
$P_{c} = 2 * \frac{1}{2} a^{2} + 2 a^{2} + a^{2} \sqrt{2} = 2 * \frac{1}{2} *48 + 2 *48 + 48* \sqrt{2} = 144+ 48 \sqrt{2} \\
V = \frac{1}{2} a^{3} = 96 \sqrt{3}$

5. Oznaczamy jako a,b,c krawędzie prostopadłościanu. Rozpisujemy:
$P_{1} = ab => b = \frac{ P_{1} }{a} \\
 P_{2} = ac => a = \frac{ P_{2} }{c}\\
 P_{3} = bc => c = \frac{ P_{3} }{b} \\
V = abc = \frac{ P_{2} }{c} * \frac{ P_{1} }{a} * \frac{ P_{3} }{b} \\
 V^{2} = P_{2}* P_{1}*P_{3} \\
V = \sqrt{P_{2}* P_{1}*P_{3}} 
 
$

6. Liczymy objętości poszczególnych sześcianów i sumujemy :
$V_{1} = 4^{3} = 64 \\ 
 V_{2} = 6^{3} = 216 \\ 
 V_{3} = 8^{3} = 512 \\
V = V_{1} + V_{2} + V_{3} = 792 => a = \sqrt[3]{792} 
$