Zadania z ciągów:
Zadanie 1: Dany jest ciąg geometryczny 36,18,9,... Wyznacz:
a) an
b) a do potęgi:2k - 1
Zadanie 2: Oblicz sumę wyrazów ciągu arytmetycznego:
a) 15+11+7+...+ (-37)
b)
Zadanie 3: Oblicz sumę wyrazów skończonego ciągu arytmetycznego:
a) 3,5 + 3,7 + 3,9 + ... + a₂₀
b) 2 - 1 - 4 - ... + b₁₅
Zadanie 4: W sali wykładowej w pierwszym rzedzie może usiąść 10 studentów. W każdym z następnych sześciu rzędów jest o 2 miejsca siedzące więcej niż w rzędzie wcześniejszym. Z kolei w każdym z dziewięciu następnych rzędów jest o 3 miejsca więcej niż w rzędzie poprzednim. Ile jest miejsc siedzących w sali wykładowej?
Zadanie 5: Kule bilardowe ułożono w trójkąt tak,że przy wierzchołku była jedna kula, za nią dwie kule, potem trzy kule i tak dalej... Przy podstawie znajdowało się siedem kul. Z ilu kul ułożono ten trójkąt?
Zadanie 6: Który z podanych ciągów nie jest ciągiem geometrycznym?
a) - 4, 8, - 15,...
b) 0,2, 0,02, 0,002,...
c) - 1, - 2, - 4,...
d) xy, xy², xy³,...
Zadanie 7: Zbadaj, który ciąg jest ciągiem geometrycznym:
a) -
c) an= (- 2) do potęgi : 2n-3
Własność ciągu arytmetycznego:
Wzór na an-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
Wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
Wzór na an-ty wyraz ciągu geometrycznego:
Wzór na sumę n wyrazów ciągu geometrycznego:
=======================================================
zad 1
a) n-ty wyraz ciągu:
Dany jest ciąg geometryczny: 36, 18, 9 - stąd:
a₁=36
a₂=18
a₃=9
Iloraz ciągu to iloraz drugiego wyrazu przez pierwszy, czyli:
q=a₂/a₁
q=18/36
q=1/2
Zatem an-ty wyraz ciągu, to:
------------------------------------------------------------------------------
b)
=======================================
zad 2
a) 15+11+7+...+ (-37)
a₁=15
a₂=11
...
an=(-37)
--------------------------
1. Różnica ciągu:
r=a₂-a₁
r=11-15
r=(-4)
--------------------------
2. Indeks n wyrazu ostatniego (ilość wyrazów w ciągu):
an=a₁+(n-1)r
-37=15+(n-1)*(-4)
-52=-4n+4
4n=56
n=14
--------------------------
3. Suma 14 początkowych wyrazów:
S₁₄=[(a₁+a₁₄)*n]/2
S₁₄=[(15-37)*14]/2
S₁₄=-22*7
S₁₄=-154
------------------------------------------------------------------------------
b) 1/6 + 1/3 + ..., + 5/3
a₁=1/6
a₂=1/2
...
an=5/3
--------------------------
1. Różnica ciągu:
r=a₂-a₁
r=2/6 - 1/6
r=1/6
--------------------------
2. Indeks n wyrazu ostatniego (ilość wyrazów w ciągu):
an=a₁+(n-1)r
5/3=1/6 + (n-1) * 1/6 |*6
10=1+n-1
n=10
--------------------------
3. Suma początkowych wyrazów:
=======================================
zad 3
a) 3,5 + 3,7 + 3,9 + ... + a₂₀
a₁=3,5
a₂=3,7
--------------------------
1. Różnica ciągu:
r=a₂-a₁
r=3,7-3,5
r=0,2
--------------------------
2. Suma początkowych 20-stu wyrazów ciągu:
------------------------------------------------------------------------------
b) 2 - 1 - 4 - ... + b₁₅
[Ciąg przedstawiony jest jako suma kolejnych wyrazów: 2+(-1)+(-4)+(- )...+b₁₅]
a₁=2
a₂=-1
--------------------------
1. Różnica ciągu:
r=a₂-a₁
r=-1-2
r=-3
--------------------------
2. Suma początkowych 15-stu wyrazów ciągu:
=======================================
zad 4
[Numeracja - pierwsza cyfra w indeksie każdego wyrazu jest jego n-tym wyrazem, natomiast druga cyfra mówi o ciągu (pierwszym lub drugim)]
Mamy dwa ciągu:
-- pierwszy:
a₁₁=10
a₂₁=a₁+2=10+2=12
...
a₇₁=a₁+6*2=10+12=22
-- drugi - w którym wyraz pierwszy jest sumą różnicy 3 (z zadania) oraz ostatniego wyrazu "wcześniejszego" ciągu.
a₁₂=a₇₁+3=22+3=25
a₂₂=a₁₂+3=25+3=28
...
a₉₂=a₁₂+8*3=25+24=49
--------------------------
2. Ilość miejsc w sali:
=======================================
zad 5
a₁=1
a₂=2
a₃=3
...
an=7
[ciąg jest arytmetyczny (różnica pomiędzy kolejnymi wyrazami to r=1)]
--------------------------
1. Różnica ciągu:
r=a₂-a₁
r=2-1
r=1
--------------------------
2. Ilość wyrazów tego ciągu:
an=a₁+(n-1)r
7=1+(n-1)*1
6=n-1
n=7
--------------------------
3. Ilość bil:
=======================================
zad 6
a) - 4, 8, - 15,...
Ciąg nie jest geometryczny,
------------------------------------------------------------------------------
b) 0,2, 0,02, 0,002,...
Ciąg jest geometryczny.
------------------------------------------------------------------------------
c) - 1, - 2, - 4,...
Ciąg jest geometryczny.
------------------------------------------------------------------------------
d) xy, xy², xy³,...
Ciąg jest geometryczny.
=======================================
zad 7
By ciąg (an) był ciągiem geometrycznym iloraz jego dwóch kolejnych wyrazów musi być niezależny od n.
------------------------------------------------------------------------------
a) -1/6, 1/3, -2/3
Ciąg jest geometryczny.
------------------------------------------------------------------------------
b) 1/2, 1 i 3/2 - nie można określić
------------------------------------------------------------------------------
c) an=(-2)^{2n-3} [traktuję całe wyrażenie po " : " jako wykładnik potęgi]
Iloraz dwóch kolejnych wyrazów nie jest zależny od n, zatem ciąg jest geometryczny.
1.
36,18,9
q=9/18=1/2
an=a1q^n-1
an=36*(1/2)^n-1
a2k - 1= 36*(1/2)^2k-1 ^(do potęgi)
2.
15+11+7+...+ (-37)
r=11-15=-4
a1=15
an=-37
an=a1+(n-1)r
-37=15+(n-1)*(-4)
-37-15= -4n+4
-52-4= -4n
-56= -4n | :(-4)
n= 14
Sn=(a1+an) *n/2 / (kreska ułamkowa)
Sn=(15+(-37)) *14/2
Sn= (-22)*7= -154
b) 1/6 , 1/3 , 1/2....., 5/3
a1=1/6
an=5/3
r=1/3-1/6= 2/6-1/6=1/6
an=a1+(n-1)r
5/3=1/6+(n-1)*1/6
5/3-1/6=1/6n-1/6 |*6(mnożymy obie strony przez 6)
10-1=n-1
10-1+1=n
n=10
Sn=(a1+an) *n/2
Sn=(1/6+5/3)10/2
Sn=(1/6+10/6)*5= 11/6*5=55/6= 9 i 1/6
3.
a)3,5 + 3,7 + 3,9 + ... + a₂₀
a1=3,5
n=20
r= 3.7-3,5= 0,2
an= 3,5+ (20-1)*0,2= 3,5+19*0,2= 3,5+3,8= 7,3
Sn=(a1+an)n/2=(3,5+7,3)*20/2= 10,8*10=108
b) 2 - 1 - 4 - ... + b₁₅
b1=2
r= -1-2= -3
n=15
bn= 2+(15-1)*(-3)=2+14*(-3)=2 - 42= -40
Sn= (2+(-40))*15/2=(-38)*15/2=(-570)/2= -285
4.
a1=10
a2=12
a3=14
n=7
r=14-12=2
an=10+(7-1)*2= 10+6*2=10+12=22
Sn=(10+22)7/2=32*7/2=16*7=112
b1=25
b2=28
r=3
n=9
bn=25+(9-1)*3=25+8*3=25+24=49
Sn=(25+49)*9/2= 74*9/2= 37*9= 333
112+333= 445 miejsc!
5.
a1=1
a2=2
a3=3
r=1
an=7
7=1+(n-1)*1
7-1=n-1
6+1=n
n=7
Sn=(1+7)*7/2=8*7/2=4*7=28 kul!
6.
a) - 4, 8, - 15,...
-15/8=8/-4
NIE!
b) 0,2, 0,02, 0,002,...
0,002/0,02=0,02/0,2
0,1=0,1
q=0,1
TAK JEST!
c) - 1, - 2, - 4,...
-4/-2 = -2/-1
2 = 2
q=2
TAK JEST!
d) xy, xy², xy³,...
xy^3/xy^2=xy^2/xy
y=y
q=y
TAK JEST!
7.
a)1/3/-1/6=1/3*(-6)= -2
-2/3/1/3= -2/3*3= -2
TAK JEST!
b) w b jest za mało wyrazów(przynajmniej 3 powinny być)
c)
a2=(-2)^2*2-3= (-2)^1=-2
a3=(-2)^2*3-3=(-2)^3=-8
a4=(-2)^2*4-3=(-2)^5=-32
-32/-8=-8/-2
4=4
q=4
JEST!