Question

Zad.1.
Wyznacz równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta ABC poprowadzoną z wierzchołka C gdy: A=(-4,1), B=(0,5), C=(2,-2)
Zad.2.
Wyznacz równanie osi symetrii trójkąta równoramiennego o wierzchołkach A=(-2,-3), B=(-1,2), C=(4,1)
Zad.3.
Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt P=(0,8) i środek odcinka AB, gdzie A=(-1,3), B=(3,7)
Zad.4.
Wyznacz punkty wspólne okręgu (x-3)²+(y-5)²=4 i prostej x+y=10

Answer 1

Zad.1.
ΔABC o wierzchołkach:
A = (-4,1)
B = (0,5)
C = (2,-2)

Wyznaczamy równanie prostej przechodzącą przez punkty A i B

"Prosta przechodząca przez dwa punkty A = (x₁, y₁) i B = (x₂, y₂) ma równanie: (x₂ - x₁)(y - y₁) = (y₂ - y₁)(x - x₁)"

(0 + 4)(y - 1) = (5 - 1)(x + 4)
4(y - 1) = 4(x + 4)
4y - 4 = 4x + 16
4y = 4x + 16 + 4
4y = 4x + 20 /:4
y = x + 5

Wyznaczamy równanie prostej prostopadłej do prostej y = x + 5 i przechodzącej przez punkt C

"Proste y = a₁x + b₁, y = a₂x + b₂ są prostopadłe jeśli a₁*a₂ = -1"

y = x + 5 _|_ a₂ = -1
a₁ = 1, czyli
1*a₂ = -1
a₂ = -1

C ∈ y = a₂x + b₂
-2 = -1*2 + b₂
- 2 = - 2 + b₂
b₂ = - 2 + 2
b₂ = 0

Odp. Szukana posta ma równanie: y = - x

Zad.2.
ΔABC - trójkąt równoramienny
A = (-2,-3)
B = (-1,2)
C = (4,1)

Sprawdzamy, które boki są ramionami:
|AB| = √(-1+2)² +(2+3)² = √1 + 25 = √26
|BC| = √(4+1)² +(1-2)² = √25 + 1 = √26
|AC| = √(4+2)² +(1+3)² = √36 + 16 = √52
|AB| = |BC|
czyli oś symetrii tego trójkąta równoramiennego to prosta przechodząca przez punkt B i środek boku AC

Wyznaczamy środek odcinka AC


"Środek odcinka o końcach A = (x₁, y₁) i B = (x₂, y₂) ma współrzędne: S = (x₁ + x₂/ 2; y₁ + y₂ / 2)"

S = (-2+4/2; -3+1/2) = (²/₂; ⁻²/₂) = (1, -1)

Wyznaczamy równanie prostej przechodzącą przez punkty B i S
(1 + 1)(y - 2) = (-1 - 2)(x + 1)
2(y - 2) = -3(x + 1)
2y - 4 = -3x - 3
2y = -3x - 3 + 4
2y = -3x + 1 /:2
y = -1½*x + ½

Odp. Oś symetrii trójkąta równoramiennego ma równanie: y = -1½*x + ½

Zad.3.
Dane punkty:
A = (-1,3)
B = (3,7)

Szukamy równania prostej przechodzącej przez punkt P = (0,8) i środek odcinka AB

Wyznaczamy środek odcinka AB
S = (-1+3/2; 3+7/2) = (²/₂; ¹⁰/₂) = (1, 5)

Wyznaczamy równanie prostej przechodzącą przez punkty P i S
(1 - 0)(y - 8) = (5 - 8)(x - 0)
y - 8 = -3x
y = -3x + 8

Odp. Prosta przechodzącą przez punkty P i środek odcinka AB ma równanie: y = -3x + 8

Zad.4.
okręg: (x - 3)² + (y - 5)² = 4
prosta: x + y = 10

Punkty wspólne okręgu i prostej spełniają jednocześnie oba równania, czyli
x + y = 10
x = 10 - y

(x - 3)² + (y - 5)² = 4
(10 - y - 3)² + (y - 5)² = 4
(7 - y)² + (y - 5)² = 4
49 - 14y + y² + y² - 10y + 25 - 4 = 0
2y² - 24y + 70 = 0 /:2
y² - 12y + 35 = 0
Δ = 12² - 4*1*35 = 144 - 140 = 4
√Δ = 2
y₁ = 12 - 2 / 2 = ¹⁰/₂ = 5
y₂ = 12 + 2 / 2 = ¹⁴/₂ = 7

y₁ = 5 → x₁ = 10 - 5 = 5
y₂ = 7 → x₂ = 10 - 7 = 3

Odp. Punkty wspólne okręgu i prostej mają współrzędne: (5, 5) i (3, 7)