Question

Zad.1.
Oblicz pole trójkąta o bokach a=4cm, b=5cm i kącie β=60⁰
Zad.2.
Oblicz pole trójkąta równoramiennego w którym IABI=24, IACI=IBCI=13
Zad.3.
O ile % zwiększy się pole powierzchni działki w kształcie prostokąta jeśli długość każdego boku powiększymy o 30% ?
Zad.4.
Wyznacz miary kątów trójkąta jeśli wiadomo, że powstają one w stosunku 4:5:6
Zad.5.
Z trzech trójkątów równobocznych zbudowano trapez o polu 27√3 cm². Oblicz obwód trapezu i długości przekątnych

Answer 1

Zad 1: Pole trójkąta można wyrazić wzorem:
P=a*h

o to rysunek:
http://i47.tinypic.com/2re46dc.jpg


z trójkąta 60⁰, 30⁰, 90⁰ mamy:
BC=2|DB|
4cm=2|DB| |:2
|DB|=2cm

|DC|=h=|DB|√3=2√3cm

z twierdzenia Pitagorasa liczymy |AD|:
|AD|²+h²=|AC|²
|AD|²=(5cm)²-(2√3cm)²
|AD|²=25cm²-12cm²
|AD|²=13cm²
|AD|=√13 cm

podstawa to:
|AB|=c=|AD|+|DB|=2cm+√13cm=(2+√13)cm

liczymy pole:
P=h*c
P=2√3cm*(2+√13)cm
P=(4√3+2√26)cm²

Zad 2:
Korzystamy ze wzoru Herona na ple trójkąta, które mówi, że Pole:
P=√p(p-a)(p-b)(p-c)

gdzie małe "p" to połowa obwodu... liczymy:
p=(a+b+c)/2 = (24+13+13)/2 = 50/2 = 25

P=√p(p-a)(p-b)(p-c)
P=√25(25-24)(25-13)(25-13)
P=√25*1*12*12 = √25*144 = 5*12 = 60 [j²]

Zad 3:
Pole prostokąta to nic innego jak P₁=a₁*b₁

teraz wydłużamy boki:
a₂=a₁+30%a₁=100%a₁+30%a₁=130%a₁=¹³⁰/₁₀₀ a₁ = 1,3a₁
b₂=b₁+30%b₁=100%b₁+30%b₁=130%b₁=¹³⁰/₁₀₀ b₁ = 1,3b₁

liczymy pole nowego prostokąta:
P₂=a₂*b₂=1,3a₁*1,3b₁=1,69a₁*b₁

tak więc mamy, że pole pierwotnego prostokątna to 100%, a nowego liczymy:
a₁*b₁ --- 100%
1,69a₁*b₁ --- x
x=(1,69a₁*b₁ * 100%)a₁*b₁ = 1,69*100%=169%
169%-100%=69%

pole zwiększyło się o 69%

Zad 4:
kąty w trójkącie dają sumę 180⁰:
α+β+γ=180⁰

wiemy, że powstają w stosunku 4:5:6... przez x oznaczmy sobie dowolny kąt (po prostu jakiś inny kąt to x)... skoro kąty w tym trójkącie powstają w stosunku 4:5:6 to kolejno mają one miarę:
4x,5x,6x

i tak:
4x+5x+6x=180⁰
15x=180⁰ |:15
x=180⁰/15 = 12⁰

teraz liczymy kolejno kąty:
α=4x=4*12⁰=48⁰
β=5x=5*12⁰=60⁰
γ=6x=6*12⁰=72⁰

i to są nasze kąty... sprawdźmy czy dają sumę 180⁰:
α+β+γ=48⁰+60⁰+72⁰
α+β+γ=180⁰

Zad.5:

Nie ma innej opcji jak tylko zbudowanie go w ten sposób:
http://i45.tinypic.com/2qid7uw.jpg

widzimy, że pole trapezu to po prostu 3 pola trójkąta równobocznego (co zostało napisane w zadaniu), a przekątna trapezu to dwie wysokości takiego trójkąta:

Pole trójkąta równobocznego:
P=a²√3/4
3P=3a²√3/4

wiemy, że 3P=27√3 cm²

27√3 cm²=3a²√3/4 |*4
108√3 cm²=3a²√3 |:√3
108cm²=3a² |:3
a²=36cm² |√
a=6cm

Obwód trapezu to pięć boków trójkąta równobocznego:
Obw=5a=5*6cm=30cm

Obie przekątne są równe i każda z nich to dwie wysokości trójkąta równobocznego. Tak więc liczymy 2h...
h=a√3/2 |*2
2h=a√3=6√3cm

przekątne są równe 6√3cm