Question

Zad1
oblicz pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego trójkąta w którym krawędź podstawy ma 4cm długości a wysokość bryły jest równa 5cm

zad2
w prostopadłościanie o podstawie kwadratowej w wysokość równa 11,7cm,a przekątna podstawy ma 5 pierwiastek z 2 cm długości .oblicz pole powierzchni bocznej tego prostopadłościanu.

Zad3
krawędź podstawy ostroslupa prawidłowego trójkatnego ma długość 6 cm i tworzy z krawędzią boczna ą ostrosłupa kat o mierze45 stopni.oblicz objetosc tego ostrosłupa

Answer 1

Zad 1
oblicz pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego trójkąta w którym krawędź podstawy ma 4cm długości a wysokość bryły jest równa 5cm

a - krawędź podstawy graniastosłupa (trójkąta równobocznego)
H - wysokość graniastosłupa
Pp - pole podstawy graniastosłupa
Pb - pole powierzchni bocznej graniastosłupa
Pśb - pole ściany bocznej graniastosłupa (prostokąta o bokach a i H)
Pc - pole powierzchni całkowitej graniastosłupa

a = 4 cm
H = 5 cm

Pp = a²√3 / 4
Pśb = a * H

Pc = 2Pp + Pb
Pc = 2*(a²√3 / 4) + 3*Pśb
Pc = a²√3 / 2 + 3aH
Pc = 4²√3 / 2 + 3*4*5
Pc = 16√3 / 2 + 60
Pc = 8 √3 + 60 cm²

Odp. Pole powierzchni graniastosłupa wynosi 8 √3 + 60 cm².

zad 2
w prostopadłościanie o podstawie kwadratowej w wysokość równa 11,7cm,a przekątna podstawy ma 5 pierwiastek z 2 cm długości .oblicz pole powierzchni bocznej tego prostopadłościanu.

a - krawędź podstawy prostopadłościanu
d - przekątna podstawy prostopadłościanu
H - wysokość prostopadłościanu
Pb - pole powierzchni bocznej prostopadłościanu
Pśb - pole ściany bocznej prostopadłościanu (prostokąta o bokach a i H)

H = 11,7 cm
d = 5√2 cm
d = a√2
a√2 = 5√2 /:√2
a = 5 cm

Pśb = a * H
Pb = 4 * Pśb
Pb = 4 * a * H
Pb = 4 * 5 * 11,7 = 234 cm²

Odp. Pole powierzchni bocznej prostopadłościanu wynosi 234 cm²

Zad 3
krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość 6 cm i tworzy z krawędzią boczna ą ostrosłupa kat o mierze45 stopni.oblicz objętość tego ostrosłupa

a - krawędź podstawy ostrosłupa (trójkąta równobocznego)
h - wysokość podstawy ostrosłupa (trójkąta równobocznego)
b - krawędź boczna ostrosłupa (trójkąta równoramiennego)
H - wysokość ostrosłupa
Pp - pole podstawy ostrosłupa
V - objętość ostrosłupa
α - kąt między krawędzią podstawy a krawędzią boczną ostrosłupa

a = 6 cm
α = 45°
h = a√3 / 2
h = 6√3 / 2 = 3√3 cm

Krawędź boczna ostrosłupa, ½ krawędzi podstawy, wysokość ściany bocznej tworzą trójkąt prostokątny równoramienny o kątach 45°, 45°, 90° i stąd na podstawie związku między bokami
jeśli ½a = ½*6 = 3 to c = a√2, czyli c = 3√2 cm

Krawędź boczna ostrosłupa, ⅔h podstawy, wysokość ostrosłupa tworzą trójkąt prostokątny, stąd z tw. Pitagorasa
c² = (⅔h)² + H²
H² = c² - (⅔h)²
H² = (3√2)² - (⅔*3√3)²
H² = (3√2)² - (2√3)²
H² = 9*2 - 4*3
H² = 18 - 12
H² = 6
H = √6

V = ⅓*Pp*H
V = ⅓*(a²√3 / 4)*H
V = (6²√3 / 12)*√6
V = (36√3 / 12)*√6
V = 3√18 = 3√9*2 = 3*3√2 = 9√2 cm³

Odp. Objętość ostrosłupa wynosi 9√2 cm³.