Question

Zad.1.
Dla jakiej wartości m na prostej o równaniu 2x-y-2=0 leży punkt:
a) A=(-2,m)
b) B=(2-m, 3+m)
Zad.2.
Wierzchołkami trójkąta ABC są punkty A=(-2,-1), B=(6,1), C=(7,10)
Napisz równanie środkowej CD.
Zad.3.
Punkty A=(1,2), B=(-1,-1), C=(5,2) są wierzchołkami trójkąta.
Napisz równanie prostej zawierającą wysokość tego trójkąta poprowadzoną z wierzchołka A.
Zad.4.
Punkty A=(4,-1), B=(2,3), C=(1,2) są wierzchołkami trójkąta ABC.
Wykaż, że trójkąt jest prostokątny. Oblicz pole i kąty trójkąta.
Zad.5.
Oblicz pole trójkąta ABC gdy A=(-1,3), B=(-2,0), C=(2,-3)

Answer 1

Zad.1.
2x-y-2=0

a) A=(-2,m)
2*(-2)-m-2=0
-4-m-2=0
-m-6=0
m=-6

b) B=(2-m, 3+m)

2(2-m)-(3+m)-2=0
4-2m-3-m-2=0
-3m-1=0
-3m=1
m=-1/3

Zad.2
A=(-2,-1), B=(6,1), C=(7,10)
równanie środkowej CD - ?

Aby znaleźć równanie środkowej, trzeba najpierw znaleźć współrzędne środka odcinka AB, czyli punktu D.

D=((-2+6)/2,(-1+10)/2)= (2,9/2)

Do środkowej CD należą punkty C i D. Zatem wstawiam je do równania prostej y=ax+b i otrzymam układ równań:

10=7a+b
9/2=2a+b I*(-1)

10=7a+b
-9/2=-2a-b

11/2=5a
a=11/10
a=1,1

10=7*1,1+b
b=10-7,7
b=2,3

a=1,1
b=2,3

Odp.y=1,1x+2,3

Zad.3.
A=(1,2), B=(-1,-1), C=(5,2)
równanie prostej zawierającą wysokość tego trójkąta poprowadzoną z wierzchołka A - ?

Szukana prosta zawierająca wysokość tego trójkąta jest prostopadłą do prostej BC. Szukam równania tej prostej:

y=ax+b

-1=-1a+b I*(-1)
2=5a+b

1=a-b
2=5a+b
--------- +

3=6a
a=1/2

1=1/2-b
b=-1/2

Równanie prostej BC: y=1/2a-1/2.
Wysokość tego trójkąta jest prostopadła do prostej BC, zatem równanie prostej zawierającej wysokość jest:
y=-2x+b.
Punkt A=(1,2) należy do tej prostej. Wstawiam
2=-2*1+b
2=-2+b
b=4

Odp. y=-2x+4

Zad.4.
A=(4,-1), B=(2,3), C=(1,2)
Wykaż, że trójkąt jest prostokątny. Oblicz pole i kąty trójkąta.

Liczę długości boków tego trójkąta:
AB=√(2-4)²+(3+1)²=√4+16=√25=5
BC=√(1-2)²+(2-3)²=√1+1=√2
CA=√(4-1)²+(-1-2)²=√9+9=√18=√9*2=3√2
Z tw. odwrotnego Pitagorasa:

BC²+ CA² ? AB²
(√2)²+ (3√2)² ? 5²
2+18 ? 25
20 ≠ 25

Odp.Ten trójkąt nie jest prostokątny.

Zad.5.
Oblicz pole trójkąta ABC gdy A=(-1,3), B=(-2,0), C=(2,-3)

AB=√(-2+1)²+(0-3)²=√1+9=√10
BC=√(2+2)²+(-3-0)²=√16+9=√25=5
CA=√(-1-2)²+(3+3)²=√9+36=√45=√9*5=3√5

Answer 2

Z.1
2x - y - 2 = 0
a) A = (-2 , m)
wstawiam współrzędne punktu A do równania
2*(-2) -m - 2 = 0
m = -4 - 2 = -6
Odp. dla m = -6
b) B =(2-m; 3+m)
wstawiam współrzędne punktu B do równania
2*(2-m) -(3+m) - 2 = 0
4 -2m - 3 - m - 2 = 0
-3m -1 = 0
-3m = 1
m = -1/3
Odp. dla m = -1/3
z.2
A =(-2;-1) , B = (6;1) , C = (7;10)
D - środek odcinka AB , zatem
D = ( (-2+6)/2; (-1+1)/2) = (2; 0)
pr CD
y = ax + b
10 = 7a + b
0 = 2a + b
----------------
7a - 2a = 10
5a =10
a= 2
b= -2a = -2*2 = -4
Odp. Środkowa Cd ma równanie
y = 2x - 4
z.3
A=(1;2) , B=(-1;-1), C = (5;2)
Najpierw znajdę równanie prostej BC:
y = ax + b
-1 = -a + b
2 = 5a + b
------------------
5a +a = 3, 6a = 3, a = 3/6
a = 1/2
b = a - 1 = 1/2 - 1 = -1/2
y = (1/2) x - 1/2
-------------------------
Szukam teraz równania prostej prostopadłej do pr BC
przechodzącej przez punkt A :
a*a1 = -1
(1/2)*a1 = -1 ------> a1 = -2
y = -2 x + b1 oraz A = (1; 2)
2 = -2*1 + b1 -----> b1 = 2 + 2 = 4
Równanie prostej zawierającej wysokość z punktu A na
bok BC jest następujące:
y = -2 x + 4
z.4
A =(4; -1), B =(2 ; 3), C = (1; 2)
wektor AB = [2-4;3+1] = [-2;4]
IABI² = (-2)² + 4² = 4 + 16 = 20
wektor AC =[1-4; 2+1] = [-3; 3]
I AC I² = (-3)² + 3² = 9 + 9 = 18
wektor BC = [1 -2; 2-3] = [-1;-1]
I BC I² = (-1)² + (-1)² = 1 + 1 = 2
Sprawdzam - Tw. Pitagorasa
I BC I² + I AC I² = 2 + 18 = 20 = I AB I²
Trójkąt ABC jest prostokątny.
P = (1/2)*I AC I * I BC I = (1/2) * √18 * √2 = √36 / 2 = 6/2 = 3

sin α = √2 /(2√5) = √10 / 10 ≈ 0,3162
α = 18⁰ 25 minut
β ≈ 71⁰ 35 minut
γ = 90⁰
z.5
A = (-1; 3) , B = (-2; 0), C = (2; -3)
wektor AC = [2+1; -3-3] = [3; -6]
I AC I² =3² + (-6)² = 9 + 36 = 45 = 9*5
I AC I = √45 = 3*√5
Szukam teraz równania prostej AC :
y = ax + b
3 = -a + b
-3 = 2a + b
----------------
3a = -6 ---> a = -2
b = 3 + a = 3 - 2 = 1
pr. AC
y = -2 x + 1
Szukam teraz prostej prostopadłej do pr. AC i przechodzącej
przez punkt B :
a*a1 = -1
-2*a1 = -1 ----> a1 = 1/2
y = (1/2) x + b1 oraz B = ( -2; 0)
0 = (1/2)*(-2) + b1 ------> b1 = 1
pr BD ma równanie:
y = (1/2) x + 1
Szukam teraz punktu przecięcia się pr AC z prostą BD:
y = - 2 x + 1 oraz y = (1/2) x + 1
-2x + 1 = (1/2) x + 1
-2 x = (1/2) x
-2 x - (1/2 ) x = 0
(-5/2) x = 0 ----> x = 0
y = -2*0 + 1 = 0 =1 = 1
D = (0; 1)
wektor BD = [0+2; 1-0] = [2; 1]
I BD I² = 2² + 1² = 4 + 1 = 5
I BD I = √5
P = (1/2) *I AC I*I BD I = [3√5 * √5] / 2 = 15/2 = 7,5
Odp. Pole tego trójkąta jest równe 7,5 jednostek kwadratowych.

Answer 3

2
A =(-2;-1) , B = (6;1) , C = (7;10)
D - środek odcinka AB , zatem
D = ( (-2+6)/2; (-1+1)/2) = (2; 0)
pr CD
y = ax + b
10 = 7a + b
0 = 2a + b
----------------
7a - 2a = 10
5a =10
a= 2
b= -2a = -2*2 = -4
Odp. Środkowa Cd ma równanie
y = 2x - 4
z.3
A=(1;2) , B=(-1;-1), C = (5;2)
Najpierw znajdę równanie prostej BC:
y = ax + b
-1 = -a + b
2 = 5a + b
------------------
5a +a = 3, 6a = 3, a = 3/6
a = 1/2
b = a - 1 = 1/2 - 1 = -1/2
y = (1/2) x - 1/2
-------------------------
Szukam teraz równania prostej prostopadłej do pr BC
przechodzącej przez punkt A :
a*a1 = -1
(1/2)*a1 = -1 ------> a1 = -2
y = -2 x + b1 oraz A = (1; 2)
2 = -2*1 + b1 -----> b1 = 2 + 2 = 4
Równanie prostej zawierającej wysokość z punktu A na
bok BC jest następujące:
y = -2 x + 4
z.4
A =(4; -1), B =(2 ; 3), C = (1; 2)
wektor AB = [2-4;3+1] = [-2;4]
IABI² = (-2)² + 4² = 4 + 16 = 20
wektor AC =[1-4; 2+1] = [-3; 3]
I AC I² = (-3)² + 3² = 9 + 9 = 18
wektor BC = [1 -2; 2-3] = [-1;-1]
I BC I² = (-1)² + (-1)² = 1 + 1 = 2
Sprawdzam - Tw. Pitagorasa
I BC I² + I AC I² = 2 + 18 = 20 = I AB I²
Trójkąt ABC jest prostokątny.
P = (1/2)*I AC I * I BC I = (1/2) * √18 * √2 = √36 / 2 = 6/2 = 3

sin α = √2 /(2√5) = √10 / 10 ≈ 0,3162
α = 18⁰ 25 minut
β ≈ 71⁰ 35 minut
γ = 90⁰
z.5
A = (-1; 3) , B = (-2; 0), C = (2; -3)
wektor AC = [2+1; -3-3] = [3; -6]
I AC I² =3² + (-6)² = 9 + 36 = 45 = 9*5
I AC I = √45 = 3*√5
Szukam teraz równania prostej AC :
y = ax + b
3 = -a + b
-3 = 2a + b
----------------
3a = -6 ---> a = -2
b = 3 + a = 3 - 2 = 1
pr. AC
y = -2 x + 1
Szukam teraz prostej prostopadłej do pr. AC i przechodzącej
przez punkt B :
a*a1 = -1
-2*a1 = -1 ----> a1 = 1/2
y = (1/2) x + b1 oraz B = ( -2; 0)
0 = (1/2)*(-2) + b1 ------> b1 = 1
pr BD ma równanie:
y = (1/2) x + 1
Szukam teraz punktu przecięcia się pr AC z prostą BD:
y = - 2 x + 1 oraz y = (1/2) x + 1
-2x + 1 = (1/2) x + 1
-2 x = (1/2) x
-2 x - (1/2 ) x = 0
(-5/2) x = 0 ----> x = 0
y = -2*0 + 1 = 0 =1 = 1
D = (0; 1)
wektor BD = [0+2; 1-0] = [2; 1]
I BD I² = 2² + 1² = 4 + 1 = 5
I BD I = √5
P = (1/2) *I AC I*I BD I = [3√5 * √5] / 2 = 15/2 = 7,5
Odp. Pole tego trójkąta jest równe 7,5 jednostek kwadratowych.